Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Пример 2. Рассмотрим функцию ап

--'• ~ - • Зададим

сколь

угодно

малое

число

е >

0.

Тогда

будем

иметь

-- — < е

п

для

всех л > ~ - . Отсюда

следует,

что функция

ап

— - ^ - бесконечно мала.

Теорема. Для

«гого чтобы

последовательность

\ап\

имела

своим

пределом

число

а, необходимо

и

достаточно,

чтобы

функция

ап — а — ап

была

бесконечно

малой

величиной.

Пусть

по­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Н е о б х о д и м о с т ь .

следовательность {ап}

имеет своим пределом число а. Тогда для лю­

бого

наперед заданного

числа

е > 0

можно

будет

указать такое

натуральное

N,

что для

всех

n >

N

будет

\ап — а \ <

е;

отсюда

следует, что функция ап

— а

ап

бесконечно

мала.

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Пусть

функция

ап

— а — <хп

беско­

нечно мала. Тогда для любого наперед заданного числа е >

0 можно

будет

указать такое

натуральное

N,

что для всех

п >

N

будет

а л

I "

Iап —• а

I < е'< отсюда следует,

что lim ап

=

а.

Доказанную теорему можно перефразировать так: для того

чтобы

последовательность

[ап\

имела

своим

пределом

число

а,

не­

обходимо

и достаточно,

чтобы

функцию

ап можно

было

представить

в виде суммы

числа

а и некоторой

бесконечно

малой

функции

ап

(ап —

"---= а +

а„).

5.8.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ

ВЕЛИЧИНА

Определение.

Функция

ап

= f (п)

целочисленного

аргумента

п

называется

бесконечно

большой

величиной,

если для

любого

наперед

заданного

положительного

числа

M

можно указать

такое

натураль­

ное

число

N,

зависящее

от -М,

что для всех п >

N

будет

\ап\>М.

(5.7)

В

этом случае

будем писать lim ап

—- со или ап

оо .

следо­

В этом определении M — любое положительное

число,

вательно, оно может быть и сколь угодно большим.

Неравенство

(5.7) показывает, что в этом случае

точки ап,

изо­

бражающие на числовой оси члены последовательности

\ап)

зна­

чений

функции

ап

f (п), неограниченно

удаляются

от

нулевой

точки таким образом, что их расстояния от нулевой

точки

делаются

рактер удаления точек ап от нулевой точки

никаких ограничений

не накладывается.

В частности, если функция ап стремится

к несобственному пре­

V i 6 З а к а з № 146

145

Задав произвольное число M > О, будем иметь

| а / І | = | ( - 1 ) в л | = 7 1 > М

для всех пуМ.

Отсюда следует, что функция ап

= (— 1)" п' бес­

конечно велика. Однако эта функция не стремится

к несобственному

пределу, так как к этому пределу не стремится

последовательность

{( — 1)"п) (см. § 5.3 пример 3).

Из

сказанного

ясно, что символы

со и + со не эквивалентны;

символ

-\- оо (как и — С О )

является

частным

случаем символа оо .

Теорема

1. Бесконечно

малая

и

бесконечно

большая

величины

взаимно

обратны;

это значит,

что

если ап — бесконечно

малая,

то —

бесконечно

большая,

а если а„ бесконечно

большая, то

ап

'

п

'

ап

бесконечно

малая

(при условиях

ап,

ап ф 0 при всех п).

Теорема

2.

Произведение

функции

b =

г|) (п),

стремящейся

к от­

личному

от

нуля пределу,

на бесконечно

большую

функцию

ап •—

= f (п)

есть

величина бесконечно большая.

5.9.

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

ВЕЛИЧИН

Теорема

1.

Алгебраическая

сумма

нескольких

бесконечно

малых

есть величина

бесконечно

малая.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Докажем

теорему

для случая

двух

функции ап

и ß„ бесконечно малы.

Зададим

произвольное число

е >

0. Тогда

можно будет указать

такое натуральное N', что для

всех

п > N'

будет

К К ^ - .

(5-8)

и такое натуральное N", что для всех n > N"

будет

| ß „ l < f .

M

К

± ß„| = K

+ ( ± ß„)|

• К І +

І Р п К - у Н - у ^ е .

Но отсюда и следует, что сумма ап

±

ß„ бесконечно

мала.

Определение. Функция

Хп

-

g (п)

целочисленного

аргумента

п

называется

ограниченной

функцией,

если

последовательность

\Хп\

ограничена.

Таким

образом,

если

функция

Хп

— g (п)

ограничена,

то все

члены последовательности \Хп)

принадлежат

некоторому

замкну­

тому интервалу fr; si (см. § 5.4); отсюда ясно, что всегда можно бу­

дет указать такое положительное число т, что для всех п будет

\%„\<т

(рис.

76).

-т

/

s

щ

•

l

I

I

I

I

r

0

$

Рис. 76

Как мы видели

выше

(§

5.4,

теорема 2),

последовательность

стремящаяся к конечному пределу, ограничена. Следовательно,

всякая функция ап,

стремящаяся

к

конечному пределу,

ограни­

чена. В частности, функция Хп

=

С =

const, тождественно

равная

постоянной С,

ограничена,

так как в этом

случае Хп -> С.

Точно

так же бесконечно малая

функция ап

оограничена, так как в этом

случае ап

-»- 0.

Теорема 2.

Произведение

ограниченной

функции

на

бесконечно

малую

является

величиной

бесконечно

малой.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Хп — ограниченная

функция;

тогда

можно указать такое

число

m >

0,

что для

всех

п будет

\Хп \ <

т. Пусть ап

—• бесконечно

малая; тогда, задав

произволь­

ное в > 0, можно будет указать такое натуральное N, что для всех

п >

N

будет

I а„ I < -^-. Тогда

для тех же п >

N

будем

иметь

I Хпап

I =

I %п 11 <х„|

= е,

но отсюда

и следует,

что

произве­

дение Хпап

бесконечно мало.

Из доказанной теоремы и сказанного выше в этом параграфе

вытекают

следующие два следствия:

1.

Произведение

Сап

постоянной С на бесконечно малую ап

есть

величина

бесконечно

малая.

2.

Произведение

a„ß„

двух

бесконечно

малых

есть

величина,

бесконечно малая.

6 Заказ № І46

147

Определение. Последовательности

\ап

+

bn\;

[апЬп\

и

| — \

на-

I

Ьп

)

зываются

соответственно

алгебраической

суммой,

произведением

и

частным

последовательностей

\ап\

и

\Ьп\;

при

этом

частное

имеет

смысл лишь

при условии, что Ьп

ф

0 при всех п.

Таким образом, сумма, произведение и частное последователь­

ностей [ап\ и

\Ъп\ —это последовательности

значений

соответст­

венно суммы, произведения

и частного функций ап и

Ьп.

Теорема

1.

Если

последовательности

[ап\

и

[Ьп\

стремятся

соответственно

к конечным

пределам

а и Ь, то последовательность

|а„ ±

Ьп)

стремится

к пределу

а

±

Ь, т. е.

l i m ( а п

± bn)—-a±b

=

l i m а п

± lim b n .

(5.10)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

\iman = a, Umbn

= b.

(5-11)

Отсюда

следует (см. § 5.7), что

ап = а + ап,

6n = ö +

ß„,

(5.12)

где функции ап

и ß„

бесконечно

малы. Таким

образом,

получаем

ап

± Ьп

=

(а±Ь)

+

(ап ± ß„).

Функция ап ± ß„ является бесконечно

малой

(см. § 5.4, тео­

рема 1); таким образом, функция ап ±

Ьп

представлена

в

виде

суммы

числа

а ±

b

и

бесконечно

малой

функции

ап

±

ß„.

Но отсюда следует (см. § 5.7), что последовательность

{ап

±

Ьп\

имеет своим пределом число а ±

Ь,

т. е. lim (ап

±

Ьп)

=

а ±

Ь,

что и требовалось

доказать.

Теорема легко обобщается на случай любого конечного числа

слагаемых.

Теорема

2. Если

последовательности

\ап]

и

{Ьп}

стремятся

соответственно

к конечным

пределам

а и Ь, то

последовательность

{апЬп}

стремится к пределу

ab,

т. е.

lim (anbn)

= ab — lim а„ - lim bn.

(5.13)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть снова

имеют

место

соотноше­

ния (5.11)

и (5.12);

тогда апЬп

(а +

а„) (b +

ß„) =

ab +

(aß„

+

+

ban

+

a„ß„).

равенства следует, что последовательность \апЬп]

имеет своим пре­

делом число

ab, т. е. lim (anbn) — ab.

Теорема

доказана. Она распространяется

на случай любого

Теорема

3.

Если последовательности

\ап) и

\Ьп]

стремятся

соответственно

к конечным

пределам

а и

b Ф О,

то

последователь­

ность \—

\ стремится к

пределу —,

т. с.

Ь„

)

b

1 •

оп

а

h m

ап

(5.14)

hm — = —

l i m

bn

a

ban

— aß„

b

b

(b + ß„) b

И Л И

(6 + ß«)6 {ban—

aß„).

(5.15)

Докажем, что второе слагаемое в правой

части

этого

равенства

является бесконечно малой величиной. Так как

ßr t

бесконечно^

мала, то можно указать такое натуральное N,

что для всех п >

N

будет

I ß„|<;-^-1 b |. Но тогда для этих п имеем

2

- ( - ß „ ) l > | b | - | ß n | > | b |

-

2 1 -

I

&

I

или

|b + ß „ l > -

и, следовательно,

1

2

( H - ß « ) 6

\Ь + К \

N< члены

Ь°-

Таким образом, для всех п у

последовательности

\(Ьф$п)Ъ\

принадлежат

интервалу

2

2

"

и вне этого

интер-

не более конечного

б2

вала

может находиться

числа членов этой по-

Г

2

2

всегда

следовательности. Следовательно,

интервал

;

—

можно расширить до такого интервала

fr; s],

который будет содер­

жать

все члены последовательности ( _

•

Отсюда

следует,

1

U * + ßn>*.

что функция (Ь + ß„) b ограничена. Функция

(Ьап

aß„)

бесконечна

что последовательность

имеет своим пределом число

т. е.

lim-22-

: — , что и требовалось доказать.

Ьп

b