Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

много решений (система неопределенна), либо она несовместна. Это утверждение принимаем без доказательства. Отметим лишь, что в случае совместности системы, она эквивалентна некоторой системе из меньшего числа ее уравнений.

1.9. ИССЛЕДОВАНИЕ И Р Е Ш Е Н И Е СИСТЕМЫ Л И Н Е Й Н Ы Х ОДНОРОДНЫХ УРА В Н Е Н И Й

Рассмотрим один частный, но весьма важный случай системы линейных уравнений, когда свободные члены уравнений системы равны нулю. Такие уравнения называются о д н о р о д н ы м и . * Проведем исследование и решение системы трех линейных однород­ ных уравнений с тремя неизвестными:

Прежде всего отметим, что такая система всегда совместна, так

в отношении системы линейных однородных уравнений ставится задача об установлении условий единственности нулевого решения

1.Определитель системы D ф 0. В этом случае по теореме Кра­ мера система имеет только одно решение, которым, очевидно, яв­ ляется нулевое решение. Отсюда следует: если система однород­ ных уравнений имеет ненулевые решения, то ее определитель равен нулю.

2.Определитель системы D = 0. Покажем, что в этом случае система (1.52) действительно имеет ненулевые решения, причем система эквивалентна либо системе из двух ее уравнений, либо одному уравнению. Для этого рассмотрим миноры всех .элементов матрицы системы (1.52). Возможны два случая: либо по крайней мере один из указанных миноров отличен от нуля, либо все миноры равны нулю.

*Если свободный член линейного уравнения отличен от нуля, то урав­ нение называется неоднородным.

**Решение системы называется ненулевым, если среди чисел, состав­ ляющих решение, имеется по крайней мере одно, отличное от нуля .

30

1) Пусть не равен нулю один из миноров определителя (1.53), например

Покажем, что в этом случае система (1.52) эквивалентна системе , состоящей из первого и третьего ее уравнений:

очевидно. Покажем обратное, что любое решение системы (1.55) является решением системы (1.52). Для этого достаточно убедиться в том, что любое решение системы (1.55) является решением второго

Различным значениям неизвестного х3 соответствуют различные решения системы (1.55).

Так как х3 можно придавать бесконечно много различных зна­ чений, то система (1.55) имеет бесконечно много решений. Решениям системы (1.55) можно придать более удобный вид, если перейти от

и вместо произвольного х3 ввести произвольное t по формуле

Л 23

31

Тогда будем иметь решения системы (1.55) в параметрической форме:

Каждому значению параметра t соответствует определенное ре­ шение системы (1.55), причем формулы (1.57) содержат все решения

Таким образом, действительно, в рассматриваемом случае си­ стема уравнений (1.52) эквивалентна системе (1.55); все решения системы (1.52) определяются формулами (1.57). При t = 0 имеем, очевидно, нулевое решение. Придавая параметру t ненулевые зна­

показан способ решения системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

2) Пусть все миноры элементов матрицы системы (1.52) равны нулю. Покажем, что в этом случае система (1.52) эквивалентна од­

т. е. одному уравнению с тремя неизвестными. Для этого, очевидно, достаточно убедиться в том, что любое решение уравнения (1.58) является также решением второго и третьего уравнений системы (1.52).

Найдем все решения уравнения (1.58). Допустим, что а1г ф 0 (все коэффициенты при неизвестных не могут быть равны нулю). Тогда, рассматривая уравнение (1.58) как уравнение с одним не­ известным хх, находим, что при произвольно взятых значениях неизвестных х2 и х3 оно имеет единственное решение

32

с двумя параметрами — и и ѵ. Каждой паре значений и и ѵ соот­ ветствует определенное решение уравнения (1.58), причем формулы (1.60) содержат все решения уравнения (1.58).

Подставляя выражения для хх, х2 и х3 по формулам (1.60) в ле­ вые части второго и третьего уравнений системы (1.52) и учитывая, что все миноры элементов матрицы системы (1.52) равны нулю,

Таким образом, действительно, в рассматриваемом случае си­ стема уравнений (1.52) эквивалентна уравнению (1.58); все решения системы (1.52) определяются формулами (1.60). При и = ѵ = О имеем, очевидно, нулевое решение. Придавая параметрам и и ѵ ненулевые значения, будем получать ненулевые решения системы (1.52): так как а1Х ф 0, то при и ф 0 и ѵ ф 0. хг Ф 0, х3 ф 0.

З а м е ч а н и е . В приведенных рассуждениях одновременно показан способ решения одного линейного уравнения с тремя не­ известными.

Исследование системы линейных однородных уравнений про­ ведено для случая трех уравнений с тремя неизвестными. Анало­ гичные результаты имеют место и для общего случая системы п линейных однородных уравнений с п неизвестными. Не рассматри­ вая его, ограничимся лишь формулировкой соответствующих тео­ рем.

33