Файл: Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции.pdf

-115 -

2.Построить следы вспомогательной прямой.

3.Через следы прямой провести следы искомой плоскости па-

оаллельно следам заданной плоскости.

Приступим к решению исходя из того, что направление следив иско­ мой плоскости нам известно - они долины быть параллельны одно­

имённым следам заданной плоскости.

В предыдущей лекции указывалось, что для проведения плос­

кости через точку необходимо сначала провести через неё вспомо­ гательную прямую.

Поэтому проводим через точку Е прямую параллельную плоское -

ти Р, а затем, эту прямую заключаем в плоскость параллельную за­ данной плоскости р .

Проще всего, провести через точку Е линию уровня искомой

плоскости, т .е . горизонталь или фронталъ, т .к . нам известно на­ правление обеих проекций этих прямых.

Возмём, например, горизонталь искомой плоскости.

параллелен одноимённому следу заданной плоскости р, поэтому мы

и проводим ГПГ через горизонтальную проекцию точки Е, параллель­ но Р„ .

Плоскость проведённая через эту горизонталь и папаллель-

ная заданной плоскости р и будет искомой плоскостью *5 .

Как известно из предыдущей лекции, следы плоскости прохо­

дящей через прямую, долины проходить через следы этой прямой.

- XI6 -

Проекции этой второй прямой проходят через одноимённые проекции точки Е и соответственно параллельны одноимённым проекциям пря­

шается ещё проще.

Пусть плоскость задана пересекающимися прямыми AB и ВС.

Необходимо через точку Е провести плоскость параллельную заданной. Для решения задачи (рис. 78) достаточно через точку Е провести две прямые соответственно параллельные прямым определя­ ющим заданную плоскость, т .е . через проекции точки Е провести проекции прямых соответственно параллельные одноимённым проек­ циям заданных прямых AB и ВС. Этими прямыми и задаётся искомая

плоскость.

- н а -

•VV

§ 20. Пересекающиеся плоскости.

Сначала рассмотрим построение линии пересечения двух плос­ костей заданных следами.

Все виды пересечения таких плоскостей могут быть сведены к трём случаям.

Первый случай.

Линия пересечения определяется двумя точками - следами, ле­ жащими в пределах эпюра.

На рис. 79 представлено наглядное изображение двух пересека­ ющихся плоскостей общего положения, на котором видна линия пере­ сечения этих плоскостей - прямая ЫN .

Точки Ы и N этой прямой являются следами линии пересе­ чения. Нам извести , что оледы прямой лежащей в плоскости, ле­ жат на одноимённых следах этой плоскости.

Прямая ЫN • являясь линией пересечения заданных плоскостей,

лежит одновременно и в плоскости Р и в плоскости Q. .

Значит следы линии пересечения должны лежать на одноимённых следах обеих плоскостей, т .е . в точках их пересечения.

Доказать, что точка пересечения одноимённых следов пересе­

кающихся плоскостей является следом линии пересечения можно и так*

каждая точка фронтального следа плоскости Р - принадлежит плос­

- II9 -

120 -

плоскостей, являющейся горизонтальным следом линии пересечения.

Таким образом, для построения проекций линии пересечения

двух плоскостей, одноимённые следы которых пересекаются в пре­ делах впюра, достаточно соединить отрезками прямых одноимённые проекции точек пересечения следов плоскостей - следов искомой линия пересечения.

На рис. ѲО заданы две остроугольные плоскости общего поло­

жения. Необходимо построить линию их взаимного пересечения.

Точка пересечения горизонтальных следов заданных плоскос­

тей - точка m - является, как уже говорилось, горизонтальным

следом искомой линии пересечения, фронтальная проекция которого

122 -

Здесь, точка пересечения горизонтальных следов заданных плоскостей лежит вш е оси ОХ. но не перестаёт от этого быть горизонтальным следом искомой линия пересечения.

Нужно только понимать, что в этом случае, горизонтальный след линии пересечення заданных плоскостей лежит во втором уг­ лу пространства.

Второй случай.

Линия пересечения заданных плоскостей определяется одной

точкой и направлением этой линии.

Известной точкой линии пересечения, является один из её

следов. Возможны две комбинации плоскостей отвечают,их рассмот­ ренному случае.

Первая комбинация плоскостей.

Пересечение двух проецвруюиих плоскостей (рис. 62).

На эпюре заданы две горизонтальяо-проепирующие плоскости,

причём известна только одна точка линии пересечения - её гори­ зонтальный след (точка пересечения горизонтальных следов задан­

ных плоскостей - точка ѵП ) .

Но из курса элементарной геометрия нам известно, что две

плоскости перпендикулярные третьей, пересекаются по прямой перпендикулярной этой третьей плоскости.

Таким образом, нам известно направление линии пересечения заданных плоскостей, она должна быть перпендикулярна горизон­ тальной плоскости проекций.

Значит, искомая линия пересечения спроецируется на фрон­ тальную плоскость проекций в прямую линию перпендикулярную оси СХ, а на горизонтальную плоскость проекций - в точку m .

Если посмотреть на рис. 62, повернув его "вверх ногами", то мы увидим, пересечение двух фронтально-проецирующих плос­ костей. Линия их пересечения будет Фронтально-проецирующей прямой.

іаз -

Вторая комбинация плоскостей.

Пересечение произвольной плоскости с плоскостью уровня.

Несколько, в этой коибинации, одной из плоскостей участвую­

щей в пересечении будет плоскость уровня, полно утверждать, что линией пересечения обязательно будет прямая уровня, направление проекций которых нам известно.

Пусть, например, нам заданы остроугольная плоскость обще­

го положения Р и фронтальная плоскость Q. (рис. 83).

Искомая линия пересечения лежит в обеих плоскостях, а это

екцию фронтали - линии пересечения заданных плоскостей.

Горизонтальная проекция линии пересечения будет совпадать с горизонтальным следом плоскости О ,,

Повернув построенный эпюр "вверх ногами", увидим пересе­ чение плоскости общего положения с горизонтальной плоскостью.

В этом случае линия пересечения будет горизонталью.

Третий случай.

Общий случай, в котором неизвестны ни точки пренаддежакие линии пересечения ни её направление.

124 -