Файл: Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции.pdf

-135 -

Прямая AB находится в плоскости Q потому, что горизонталь­

ный след этой плоскости мы провели через горизонтальную проекцию

прямой! а в лекция четвёртой доказывалось! ЧТО если Прямая лежит в горизонтально-проецирующей плоскооти, то горизонтальная проек­

ция этой прямой долина лежать на одноимённом следе плоскости.

Строим линию пересечения заданной плоскости Р в вспомога­

тельной плоскости О .

Нам известно (с«, лекцию шестую), что точка пересечения од­

ноимённых следов переоекаюцихся плоскостей являются следамн лини нх пересечения, т .к . лежат одновременно в трёх плоскостях-задан­ ной, вспомогательной н соответствуювей плоскости проекций.

Строим проекцнн лннни пересечения, соединяя отрезками пря­ мых одноимённые проекция её следов.

Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с такой

же проекцией заданной прямой AB. а фронтальная проекция - пересе­

-136 -

Рассмотренный нами порядок решения задачи не изменяется и

и случае, когда плоскость задаётся не следами. Решим такой при­ мер.

- 13?

жит к прямой DE в плоскости АВС, поскольку проекции точки ле­ жат на одноимённых проекциях и прямой DE , и линии пересече­

ния 1-2, лежащей в плоско оти АВС.

5 23. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Как известно, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна к двум произвольным прямым лежащим в этой плос-

ти.

На рис. 91 приведено наглядное изображение плоскости обще­ го положения Р, в которой проведены горизонталь и фронталъ пере­ секающиеся в точке А.

В точке А, к плоскости Р, восставлен перпендикуляр.

На основании условия проецирования прямого угла в натураль­

проекция перпендикуляра будет перпендикулярна одноимённой проек­

будет перпендикулярна фронтальной проекции фровталн и фронтальному следу плоскости Р,

Эти рассуждения позволяют сформулировать следующее правило:

Если прямая перпендикулярна плоскости, то проекции прямой перпендикулярны одноимённым следам плоскости и проекциям соот-

ствующих линий у р о в н я плоскости.

Решим несколько задач, которые позволяет закрепить в памя­ ти это очень важное правило

- 138 -

- 139 -

8 » Л » Ч а

Определить расстояние от точка А до плоскости р.

Как азвестко, расотоякне от точка до плоскости определяется

длиной перпендикуляра опученного аэ »той точка на заданную плос­ кость .

Проведя перпендикуляры из проекций точка А к одноимённых оле-

дам плоскости Р, получаем горизонтальную (ГПП) а фронтальную (ФІШ)

проекции перпендикуляра. опученного в пространстве аз точки А на

плоскость Р / см. рис. 92 / .

Для определения искомого расстояния, необходимо найти осно­ ваніе этого перпендикуляра - точку переоеченяя его о плоскостью Р.

Для нахождения этой точки заключаем перпендикуляр во вспомо­

гательную фронталыю-проецнруюцую плоскоотъ £> н строим линію

пересечения плоскостей Р і S .

ТЪчкя пересечен л одноимённых следов втях плоскоотей, как ухе говорилось ранее, являются следами линіи пересечения.

Построив проекция этих точек К я N , а соединив ах одно­

имённые проекта отрезками прямых, получаем проекціи искомой ля-

яиа переоеченяя.

Горизонтальная проекция втой линии - прямая гПП - пересека­ ет одноимённую проекцию перпендикуляра (ГПЙ) в точке>Ъ-горнзов-

талыюй проекта основанія перпендикуляра.

Фронтальная проекция точки К найдётся в проекционной связи,

на фронтальной проект я перпендикуляра (ФІШ).

Для определения искомого расотоявия от точка до плоокоота,

достаточно определять натуральную величину отрезка АК.

На фронтальной плоскости проекций, измеряем разность коорди­ нат 2. точек t i K - i Z - i откладываем вту величину вод пря­ мым углом к горизонтальной проекция отрезка АК.

ІВД -

Гипотенуза стягивающая концы этих катетов равна по длине

искомому расстоянию от точки А до плоскости Р.

По недосмотру, при решении этой задачи легко можно было бы

допустить ошибку и зафиксировать точку пересечения разноимённых

проекций линии пересечения и перпендикуляра, т .е . ГШШ и ФПП.

Чтобы избежать подобных ошибок, рекомендуется обозначать

буквами проекции следов, проекции перпендикуляра и линии пересе­ чения, как это сделано на рис. 92.

142 -

вС в точке 2.

Впроекціюиной связи, иа фронтальной проекции прямой ВС, на­

ходим фронтальную проекцию точки 2 и соединив её с одноимённой

проекцией точки В , получаем фронтальную проекцию фронтали (T in ),

Опустив перпендикуляр из фронтальной проекции точки А на ФІй,

получаем фронтальную проекцию перпендикуляра (ФПП).

Переходим к построению основания этого перпендикуляра, по

плану разобранному на рис. 92.

Заключаем перпендикуляр в горизонтально-проецируемую плос­

кость Ъ , строим линию пересечения плоскостей ВСТ> и .5 - пря­

мую 5-4 и фиксируем точку пересечения фронтальной проекции этой линии с одноимённой проекцией перпендикуляра (ФПП) - точку W .

Эта точка является фронтальной проекцией основания перпен­ дикуляра опущенного а пространстве из точки А иа плоскость BCD .

Горизонтальная проекция этой точки найдётся в проекционной связи на горизонтальной проекции перпендикуляра (ГПП). Способом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину от­ резка АК - искомое расстояние от точки А до плоскооти BCD .

Мохнс представить себе и обратную задачу.

З а д а ч а

Через точку А провести плоскость Р, перпендикулярную отрез­ ку ВС. Направление следов искомой плоскости вам известно, они будут перпендикулярны одноимённый проекциям прямой ВС. Нам, еле-

- 143 Ч

довательно известно и направленіе соответствующих проекцій лв-

н іі уровня. Поэтому, проводим через точку А какую-нибудь ливню уровня, например, горизонталь (рис. 94). Её фронтальная проекция

Горизонтальный след искомой плоскости проведём черев точку схода еле

доа Рх,перпендикулярно горизонтальной проекциш отрезка ВС.

Проверим правильность выполненных построений: Перпендикуляр­ на лн проведённая нами плоскость Р заданному отрезку ВС? Да, пер­ пендикулярна! потому, что следы этой плоокостн перпендикулярны одноимённым проекциям отрезка ВС. А проходят ли плоскость Р через точку А? Да, проход-1'! Потому что вта плоскость содержит в себе горизонталь проходящую через точку А.

Можно искомую плоскость задавать ■ не следами, зто будет ещё проив. Для этого через точку А достаточно лровеоти ещё фрон­ талъ, фронтальная проекція которой будет перпендикулярна одно­ имённой проекции отрезка ВС.

ТЬгда искомая плоскость будет определяться линиями уровня пересекающимися в точке А.

і 24. Перпендикулярность плоскостей.

Как известно, две плоокостн перпендикулярны, если в одной из них находитоя хотя бы одна прямая перпендикулярная второй плос­

кости.