Файл: Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции.pdf

125

Для упрощения рассуждений, сначала рассмотрим случай когда известна хотя бы одна точка принадлежащая искомой линии пересе­ чения - её фронтальный след (рис. 84).

Нам заданы две плоскости общего положения, горизонтальные следы которых не пересекаются в пределах зпюра. таким образом,

нам известна только одна точка линии пересгчения-её фронтальный след, что недостаточно для проведения её проекций, т .к . направление этой линии также неизвестно.

ресекаются. Мзжио утверждать, что эта точка пересечения фронталей

ТЬчка К является второй точкой принадлежащей искомой линии

пересечения (первой являлась точка пересечения фронтальных оледов -

— фронтальный след линии пересечения).

Соединив отрезками прямых одноимённые проекции точек К и t\|

получаем проекции линии пересечения заданных плоскостей.

- 126 -

Если бы и фронтальные следы заданных плоскостей не пересе­ кались н пределах эпюра, нужно было бы ввести ещё одну вспомо­ гательную плоскость и повторить все упомянутые построения для получения второй точки принадлежащей линии пересечения.

Рассмотрим в заключение самый общий случай построения линии пересечения двух плоскостей, случай когда не известны ни точки, ни направление линии пересечения.

На рис. 65 задавы две плоскости, одна из которых определя­ ется двумя пересекающимися, а вторая - двумя параллельными пря­ мыми.

Требуется построить проекции линии их взаимного пересече­

ния.

Введём вспомогательную фронтальную секущую плоскость Р, проведя её для упрощения построений, через точку С.

Точки I, 2 и 3 в которых горизонтальные проекции заданных

прямых пересекаются с одноимённым следом вспомогательной плос-

......... о

кости Р, являются горизонтальными проекциями точек пересечения

этих прямых с плоскостью Р.

Найдём фронтальные проекции этих точек, в проекционной

связи, на фронтальных проекциях прямых определяющих заданные плоскости.

- 129 -

ЛЕКЦИЯ СЕДЬМАЯ

Взаимное расположение прямой я плоскости Прямая может лежать в плоскости, быть параллельной или

пересекать её.

В частном случае, прямая пересекающая плоскость может быть ей перпендикулярна. Случай, когда прямая леиит в плоскости,рас­ смотрен нами в лекции пятой.

Последовательно рассмотрим остальные случаи расположения прямой относительно плоскости.

§ 21. Прямая параллельная плоскости.

Из курса геометрии известно, что прямая параллельна плос­ кости, если в этой плоскости находятся хотя бы одна прямая па­

раллельная заданной прямой, это определение позволяет наметить путь решения задач на прямую параллельную плоскости.

З а д а ч а

Через точку А провести приму» параллбльяу» заданной плос­ кости Р (рис. 86).

Порядок решения:

1)взять в плоскости Р произвольную прямую.

2)Через точку А провести искомую прямую параллельную прямой проведённой в плоскости.Р.

Задача поставленная первым пунктом порядке решения рассмат­

ривалась нами в пятой лекции.

130 -

Там было доказано, что прямая лежит в плоскости, если следы прямой лежат на одноимённых следах плоскости.

Поэтому, что бы взять в плоскости произвольную прямую,

достаточно выбрать на следах заданной плоскости две произволь­

жество прямых параллельных заданной плоскости, именно поетому мы имеем право провести в плоскости Р еовераенио произвольную пря­ мую.

Обратная задача

Через точку А провести шоокость параллельную заданной прямой ВС.

Порядок решения:

1.Цровеотн через точку А прямя параллельную прямой ВС.

2.Построить следы вспомогательной прямой.

3.Через следы прямой провести одноимённые следы искомой

плоскости, про изволько выбрав точху схода следов, т .к . через

точку можно провести бесчисленное множество плоскостей парал­

-131 -

Обе эти плоскости удовлетворяют условии, т .х . содержат в себе прямую м ФІ параллельную заданной прямой ВС.

} 22. Прямая псресскаюжая плоскость.

Задачи рассматриваемые в атом параграфе являются особенно важными, т .к . на их основе решается большинство практических, ин­ женерных проблем которые могут быть разрешены графическими спо­ собами, излагаемыми в курсе начертательной геометрии.

В случае, если прямая пересекает плоскость уровня или прое­ цирующую плоскость, нахождение точки пересечения не требует ни­ каких дополнительных построений.

Пусть, например, нам необходимо найти точку пересечения пря­ мой AB с горизонтальной плоскостью р (рис. 88).

Можно утверждать, что точка пересечения фронтальной проек­ ции прямой AB с одноимённым следом плоскости Р - точка Ѵс'- яв­ ляется фронтальной проекцией искомой точки пересечения.

Вторая проекция точки К найдётся в проекционной связи, на горизонтальной проекции прямой AB.

Этот вывод вытекает из следующего: Во второй лекции было установлено, что у точки лежащей на прямой, проекции распола­ гаются на одноимённых проекциях згой прямой, а в лекции четвёртой мы установили, что фронтальная проекция любой точки, лежащей в горизонтальной плоскости, будет находиться иа фронтальном следе этой плоскости.

Отсюда следует вывод, что фронтальная проекция искомой точки пересечения, пренадлежащей как прямой, так к чзоскости, может на­ ходиться только в пересечении фронтального следа плоскости Р с Фронтальной проекцией заданной прямой AB.

- хаз -

ся в пересечении горизонтальной проекция прямой с одноимённым еле

дом плоскости р. Вторая проекция точки встречи найдётся в проек­ ционной связи, на фронтальной проекция прямой AB.

ІРлько эта точка Ѵ( отвечает условию, т .к . принадлежит и

прямой AB и плоскости Р.

Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью обще­ го положения необходимы вспомогательные построения, которые для

всех задач этого типа, выполняются по следующему плану.

1. Заключить прямую во вспомогательную плоскость.

2. Построить линию пересечения заданной и вспомогательной

плоскостей.

3.ТЬчка пересечения одноимённых проекций заданной прямой

ипостроенной линии пересечения является проекцией искомой точ­

ки пересечения. Вторая проекция этой точки найдётся на второй проекции заданной прямой, в проекционной связи.

Рассмотрим этот порядок на примере решения нескольких за­

дач.

З а д а ч а

Найти точку пересечения прямой AB с плоскостью Р (рис.90а).

Выполняя первый пункт намеченного плана решения, заключа­ ем заданную прямую в горизонтально-проецирующую плоскость Q .

134 -