Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

Граничные

условия

для

соА

имеют,

исходя

из (3 .2 0 )

и ( 3 .2 1 ) ,

ый(1)=0

или

о'й

(1) = 0 .

(3 .2 4 )

Пусть

Q(p)=-Q0 (p), тогда уравнение

(3 .2 2 )

примет,

вид

г

L ( " J = - | r

;

вй = е + в0 .

( з .2 5 )

Применяя к.

ы&(р)

, удовлетворяющее уравнению ( 3 .2 5 ) ,

свойот^

во

4

(§ 1 . 2 ) ,

придем к выводу,

что

Ыл(р)Ъ-0 .

Поэтому

<о(р) > (J (р)

,

(3.2& )

где

oj(p)

-

решение уравнения

( 3 .2 7 ) , полученное

из (3 .2 2 )

за­

меной

в

на

- в 0

,

при граничных условиях ( 3 .2 0 ) .

= ^

.

(3 .2 7 )

Свойство

доказано*

Оно представляет

существенный интерео

для

снизу величине напряжений, а также

определить их знак*

что не­

маловажно, например, для

оболочек

из железобетона

или

других

армированных материалов.

Из доказанного свойства вытекают мно­

гие полезные

следствия,

позволяющиекачественно описать

пове­

дение оболочек. Рассмотрим некоторые из них. Разумеется,

при

этом предполагается,

что

соблюдаются условия ( 3 .2 0 ) , часто

встре­

чающиеся на

практике.

С л е д с т в и е

I

и з

с

в о й с т в а

4 . Имеет мес­

то неравенство (3 .2 8 )

при любых поперечных нагрузках,

контур­

ных моментов и произвольных граничных условий для

Q .

({,, (р )Ъ

и,

в

частности

6^(0) = d?(0)^> Ь)'(0) .

(3 .2 8 )

Из (3 .2 1 ) имеем

_

4

=

=

“L

+

.

Л

Р

Р

Р

К

PL + cj' ( 0 ) - 6>'(0 ) .

(3 .2 9 )

<*ь(Р) _

-

to'(o)~ oi'(0) > 0 .

Р

"

Р

Р~°

Объединяя (3 .2 8 )

и

( 3 .3 0 ) ,

получим

+€У(о)-и'(о).

(З.зо)

со'(f)

°г

Р

+г[и(о)-й'[о)] . (3.31)

Оно вытекает

из следующего

соотношения,

полученного посред­

ством тождества

(2 .2 3 ) с учетом

(3 .1 )

и (3 .

2 1 ),

Р

Р

2.

—-- J - |

-yj- dp +• й}' + ^

- 2 со'(0 )+ 2 й)'(0 ) .

о

Неравенства

типа

(3 .2 9 ) -

(3 .3 1 ) весьма

существенны

также

при использовании алгоритмов типа метода начальных

параметров

для. численного

решения на

ЭВМ

краевых задач

рассматриваемой

теории.

Такого

рода методы широко применялись, в

частности,

в [ 3 ] .

Посредством

этих неравенств можно также оценить

вели­

чину контурного

N

по известному

значения

со1(0) .

С л е д с т

в и е

2

и з

с в о й с т

в

а

4, Если

к

краю оболочки приложить контурное

усилие

N

, удовлетворяющее

неравенству

;

- с/л

,

(3 .3 2 )

то (О(р)^0

Hi

следовательно, d^(p)^0

. Действительно,

если

выполняется (,3,.3з), то с5'(0)>0 , так как

со (р)

удовлетворяет

уравнению' ( ,

27)

и поэтому

u>'(0 )~N

|

J ( t

Л£)~ ^ ~

d * .

(3 .3 3 )

Тогда сЗ(р) будет

о

монотонно возрастающей функцией

(см .свойство

8, пункт в ) §

1. 2)

и так

как

ъ)л(р )> 0 ,

то

получаем,

что

ед(р) » 0.

С в о й с т в о

5 .

Пусть удовлетворяются

неравенства

( 3 .3 2 ) . Выведем для

оболочек

неравенство

типа

( 3 .1 9 ) ,

которое

одновременно

обеспечит

и знакопостоянство

(о (р )

.

Первым де­

лом покажем,

что

при выполнении неравенства

(3 .3 2 )

будет иметь

место

г

а г

Ы(р)&[ы-^

(3. 34)

Ы л]р^й'(0 )р .

о

В самом деле,

используя

(2 .2 )

и ( 2 .4 )

для

(1.1),

имеем

* 2

Р

г

-1

Я

u(f)=p[N‘ I J (1-л2) ~ х ~

J (р рЛ) \ Ва-во

(3 .3 5 )

о

о

Отсюда пооле проотых преобразований:

ю(рУ~ р[ы~ \

(1

|(7-Л*)

f

+

Р

«

в

гР

\{р - р - ) т Ыя+Т р } ^ Л^

(3 .3 6 )

Из последнего

и

( 3 .3 4 ) ,

и

( 3 .3 3 ) .

следует

если учесть

Рассмотрим

некоторые

свойства

функции

вл

,

уравнение

для

которой имеет

вид (3 .3 7 )

при

= const .

L( f 'J ■=V ,

П1е

V - L (в„)~

+

J™. дл .

(3.37)

Предположив,

но

/ t()J > 0 ; 0o ll)4 0 ;y & 0

и

d ( f ) = 0

(жесткое #

защ е:пение).

8 случае пологой

с)ерической

поверхности

шлеем

@о&)"2*оР

Р (В о ) ~ 0

. Поли

В0 (р) = 4 t0 (р -/>*), то

L.(Q0) =.

= -

32

4gj3 &Q

,

так

как

$д < о .

у 4 0

означает, что

рас­

пределенная нагрузка действует изнутри оболочки. .Далее

имеем,

что

^ ( D - e c n + QoCO^eJi)

4 о

(3 .3 8 )

Ясно

поэтому,

что

0 Л

не

может

быть всюду

положительной

функцией.

Qa

не

может

также

быть

знакопеременной,

так

как

на

участке,

где

она положительная и

V^O

согласно

свойству

8

(§ 1. 2)

0л

должна быть монотонной, что

невозможно,так как

на

концах

указанного

интервала

в а

обращается

в

нуль.

Итак,

всюду

9Л L 0 .

Рассмотрим возможные

здесь случаи.

I )

Пусть V(p)>s 0 .

Тогда

jOa j^

бГ

ил?|’

учитывая

(3 .3 4 )

К

Ц-

2 тохШо)-< т/ч!

'

(3 ,3 9 )

’

гда

2 т

Цри этом

предположим,

что

6)(0)ф 0

. .Далее, если

использовать

( 3 .3 5 ) :

6 л

(I У ) £ d*

N " 4 j 0 - * )-чг d n ~

0

р

]_

а * - Ы',0 ) -

~4

1

> й '(О У

1

2

2

1

О а,'г(0)

*

0