Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

функции ю (р) > , 0

И (л)'(р)ъО

, Т .е .

всюду

(р )

з-О

и

<5у (р)

> 0

и опасность потери устойчивости как

по

симметрич­

ным, так

и

по несимметричным формам

маловероятна.

Аналогичные

неравенстша

могут

быть установлены и в случае

шарнирного

зак­

репления ( в ( 0 *■р

9

( 1) ~ 0 )

и для любых отрицательных

попе­

речных

нагрузок.

Рассмотрим случай положительной нагрузки, т .е . когда

она

действует со стороны выпуклости оболочки. Для

упрощения будем

изучать сферическую оболочку, у которой

90 (р) =

0р

и

£ 0 .

По-прежнему, пусть

край защемлен

(9(i)~ 0)

.В

рас­

сматриваемом

случае

L (в0) s о ;

L (вЛ)~ V ;

.

0 . 4 6 )

Граничные

условия

Ba (l) = 2ta c O ;

вА( 0 ) * 0 ,

(3 .4 7 )

тогда

ясно,

что

9Л

О

всюду

быть

не

может.

Следовательно,

или вй ( р)

4

0

или она знакопеременна. В первом

случае

всю­

ду

V (р) й Q,u)(phO

и з -за неравенства (3 .3 4 )

и поэтому,

как

следует из

свойства

В

(§

1 . 2 ),96 (р)

-

монотонная функция.

Во

втором

случае

0 а

может

быть отрицательной

только

на

одном ин­

тервале,

правый

конец

которого

есть р = 1 .

Это

снова

есть след­

ствие

свойства

Я

(§ 1 .2 ) , так

как на участке,

гда

&0

име-

ем

О и,

следовательно,

9Л там монотонна.На других учаот-.

кат,концы которых находятся внутри интервала

( 0, 1) ,

6 А будучи

отрицательной,

не может быть одновременно монотонной,

так

как

на

концах этих

участков

Вь

обращается в нуль. Таким образом,

наибольшее

значение

Ва (р)

может принимать или в

точке

р = J5 i 1,

где

она

имеет

положительный максимум

или при

1 .

В первом

случае

V fp)^0

(свойство

I I ,

§ 1 . 2 ) ,

Тогда

получим:

0 * 9 л (р )х

а Б1

г

'

Или Учитывая

(3 .3 4 )

2 соф )

9а (р) 4

] Г § щ

*

где

ь > '(0 )*0 .

(3 .4 0 )

Повторяя выкладки,

приводящие к

( 3 .4 1 ) , получим в итоге

искомое

неравенство

в

виде

SI

или

й'(0 ) >\J 4-

\о

Во втором случае, когда

/пах |0Л |= 2 1

$ 0 1 , получим,

ис­

пользуя тот же

подход, что

и в ( 3 .4 1 ) :

Таким образом,

если

I

(3 .5 1 )

о

где

всюду

<5Л = 6 у

ъ

и .

Следует подчеркнуть, как и в случае пластины,

что

получен­

ные неравенства являются лишь достаточными условиями и они

не­

сомненно могут быть в ряде случаев улучшены, т .е .

минимальное

значение N , при котором

и

6 у >

0

будет

меньше,

чем по

приведенным оценкам.

6.

С в о й с т в о

Известно,

что

ларактериой чертой дефор

мации нелинейных оболочек является возможность

существования

нескольких различных форм равновесия при одних и тех же

значе­

ниях параметров внешних нагрузок.

Число таких форм может

быть

весьма большим и оно растет

с увеличением стрелы

W0(0 )

началь­

ного подъема

оболочек

(с м .,

например,

[ з ]

) .

Таким образом,

ре­

шения краевых задач

рассматриваемой

теории оболочек могут

быть

многозначными в

существенной степени.

Докажем в

овязи

с

этим

следующее свойство, из которого вытекает ряд полезных

следст­

вий.

Если cd(j3)^Q

, т о ’.все

различные решения,

за исключением мо­

жет быть одного, которые

могут существовать

при данных

значе­

ниях параметров внешних нагрузок,

удовлетворяющие

одним и

тем

же граничным условиям

таковы, что

любая

пара

из

них

не может

иметь

обе

знакопостоянными с

одинаковыми знаками.

Это

оз­

начает, в частности, что

все

эти решения,

за

исключением

может

быть одного,

имеют

в£ ^

0

,хотя

бы на какой-то части

интервала

[ 0 , 1]

и что

все

9 д 1 ,

за

исключением может быть двух из

них,зна­

Зак.188

41

Для рассмотрения этого утверждения возьмем любую пару

та­

ких решений, которые,

очевидно, удовлетворяют

уравнениям

(3 ,8 )

и

( 3 ,9 ) ,

граничным условиям

(3 .1 0 ) и

( 3 . I I ) ,

где

0 £ заменены

на

в Л1

. Доказательство будем вести

от

противного.Тогда

оно ?

совпадает с доказательством первых шести

случаев

свойства

3,

пункт ж ) . г

6,

С л е д с т в и е .

Г

и з

с в

о й

с

т

в а

Если

од(р)

0 , то при любых отрицательных или равных нулю

попе­

речных нагрузках

и контурном" моменте

М ^ О

имеется

только

одно единственное

решение, когда

д'о (D + V

^ О '

(3 .5 2 )

Последнее условие соблюдается, в частности, в случае

сфери­

ческой оболочки.

В 0 (р )

£ О и

При этом предполагается,

как

и ранее,

что

L(Q o ) > 0 .

Длядоказательства

этого

следствия

рассмотрим

сперва

случай

защемленного края. Тогда

i

ел ( 1) = е 0 (г) * о .

(3 .5 3 )

участке- - ': изменения

р

должно быть

вл (р)> О. Поэтому

ука-

: занный участок находится

или внутри

интервала

0 ^ Р

^ /,

или

примыкает к точке

р =

1

, если

во (1)=0. При этом в обоих

слу­

чаях на концах этого участка

ва

обращается в

ноль,

т .е .

она

не может быть там

монотонной.

Это обстоятельство

противоре-

|чит свойству 9 (§ 1 .2 ) ,

так

как вл(р)

удовлетворяет

уравне­

нию

(3 _ 5 4 ), если,

например,

у ~ const.

Ш л) = Ш 0 ) ~ ^ р + ^ 9 л .

0 . 5 4 )

Если

L (60)t- 0 ,у £ 0 , г о » 0

и 9Л> 0 , то правая

часть

(3 .5 4 )

положительна и согласно

указанному свойству 9 на данном

уча­

стке 6д(р)должна быть монотонной. Противоречие,

доказывает

рассматриваемое свойство

в

случае

жесткого защемления,

спра­

ведливое и когда

(3 .5 2 )

не соблюдается, так как последнее ни­

где

не использовалось

до сих пор.

Рассмотрим слузай шарнирного опирания, когда

граничное

условие

для

вй

имеет вид

вл (1) + /( вй( 1) =

e0(l)+^9o (t) 4

0 .

(3 .5 5 )

Боли

9d(l) & О

,

то фактически имеем предыдущий

случай.

Бо­

ли же

вй(})> 0

,

то из ( В .55)

следует,

что тогда

в * ( 7 )< О

и на

участке,

примыкающем к j j

= 1

, где Вл (р) > 0

, она ока­

жется

немонотонной.

Получено

снова

противоречие,

и

следотвие

доказано.

Из

этого

следствия вытекает ряд полезных выводов,

а)

Из доказательства

этого следствия ясно, что оно спра­

ведливо

и в

более

широкой облаоти:

если

поперечная

нагрузка

Ц (р)

=

<}Л(р)

такова,

что

(см .

уравнение

( 1. 2 ))

Р

тН1

L

(

9

0) > 0

;

(04 f

4 t)

,

(3 .5 6 )

а также,

О

к

шарнирно закрепленному контуру приложен контура

когда

ный момент

удовлетворяющий неравенству

в'0 (1) + р в 0 (1) +Мг (1)4 О .

(3 .5 7 )

Это

означает,

что

нижнее критическое

значение Параметра

наг­

рузки

ц

не

может

быть

в рассмотренном

случае меньше

значе­

ний

Ц

,

удовлетворяющих неравенству ( 3 .5 6 ) .

б)

Если приложить к краю оболочки растягивающее

уош ие,

удовлетворяющее условию

( 3 .3 2 ) ,

то

такая

оболочка

не может бнтА

нежесткой независимо от. вида поперечной

нагрузки как в

олучае

защемленного

закрепления края,

так

и при его

шарнирном

опира­

вши,

если

соблюдается ограничение

( 3 .5 2 ) .

Следуя

И.И.Воровичу

[ 1

7

,

будем называть

оболочку нежесткой цри данном N ,

воли

при

нулевых значениях

всех

остальных параметров внешних ак­

тивных нагрузок имеется одно единственное решение (состояние

равновесия).

Справедливость

доказываемого

вывода

следует

из

того,что

при удовлетворении

N

условию (3 .3 2 ) всщду cj(/>) > 0 .

Тогда

оболочка

не

будет

нежесткой в соответствие со следствием I

из

свойства

6 в

случае

жесткого защемления края и для

шарнирного