Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

W j + w2 s - 2 f * 0 sin Фо ct$ .

(3.4)

Если материал

оболочки линейно

упругий и справедливы

гипоте­

зы Кирхгофа, то из

(3 .2 ) следует

N^2 ~

11

=

Nqj .

(3 .5 )

Учитывая

(3 .5 )

и первое

уравнение

( I . I )

для

обоих

состояний,

получим

t'(Vi+V2 )=-fr<*(pvt+Pv2) с($ .

(з.б)

Здесь и впредь будем опускать индексы у равных для обоих

со­

стояний величин. Далее

из первых

соотношений ( 1 .3 ) ,

( 3 .5 )

и

( 3 .6 ) можно заключить, что

H i-H 2 =

- ^

LfrcC (p v1+pY2) d $ .

(3 .7 )

Исходя

из

второго

уравнения ( I . I )

и учитывая ( 3 .7 ) ,

запишем

tg(P1fr< < (pv1 +p y2) d §

в с *

con st,

( 3 .8 )

где С

-

произвольная константа.

Соотношение ( 3 .8 ) - первое искомое необходимое

условие.

Однако, так как нас интересует случай, когда существует

бес­

численное множество пар состояний,

удовлетворяющих

уоловиям

( 3 .1 ) ,

то подобные

необходимые

уоловия должны зависеть

только

от начальной формы оболочки, характера ее опирания и

внешней

нагрузки.

Поэтому из (3 .8 )

следует

необходимое уоловие

Pvi + Ру2 ~

(3 .9 )

С другой

стороны,

если

учесть ( 3 .6 ) , (3 .9 )

и ( 1 .3 ) ,

то

V, = -

4

f

<?, = - 9 г

-

<3-10)

Тогда,

складывая

(1 .2 )

для

обоих

состояний,

имеем

1' 1\нв1+Мв2 \ - 0.

(З .П )

Это -

второе

искомое

необходимое

условие.

Когда

тлеют

место

соотношения упругости

( I .1 2 )

и

( I . I 3 ) ,

последнее

условие

принимает вид

(3 .1 2 ),

если

принять

во

внима­

ние ( 3 .3 ) .

г~ /

ф 0

.

S ln 0o

,\SLnCDo

.

Фо 1

„

«.к)

г ( ^ + < " - 7 г \ г г

Ь

—

+<“ т;1 = 0'

Для удовлетворения последнему уравнению при любом

f'(^)

необ­

ходимо,

чтобы

! - £ _

=

t Ln®P s

const -

у .

( 3 .1 3 1

<*о

га

Rо

Это означает, что начальная форма

оболочки должна

быть

очер­

чена

по

сферичеокой

поверхности

радиуса

R0 .

Т

2D ,

(З Л 4 )

М$1 + М%2 = Ме 1 +Мв2 =

Легко

доказать

обратным ходом

доказательства

необходимости

условий (3 .9 ) и

( 3 .1 3 ) ,

что последние являются также и

доста­

точными для существования пар симметричных форм равновесия*

,

удовлетворяющих соотношениям (3 .1 )

и вытекающим из

них равенств

( 3 . 2 ) , ( 3 . 3 ) , ( 3 . 4 ) , ( 3 . 5 ) , ( 3 .7 ) , (3 .1 0 ) и ( 3 .1 4 ) .

Это

и есть

теорема

симметрии

для рассматриваемого

случал.

Очевидно из хода доказательства, что теорема симметрии

о с т а ­

ется в силе для любой нагрузки, не

нарушающей условие

( 3 .9 ) ,

Например, в олучае действия вертикальных

сосредоточенных

сил,

удовлетворяющих

условию Pf + P2 ~ 0

, или в

случае

поперечных

следящих

сил

£

,

еоли фу+фр-О. В

последнем

случае Ру

~

= QCOS Ф

и

pH~~gsin Ф. И

т .д .

Доказательство

теоремы

сим­

метрии можно было осуществить и на базе разрешающих

уравнений

из §

3 . 1 . Для этого достаточно

подставить

туда

и 2

,

Фг

ъ

р нг , удовлетворяющих

соотношениям ( 3 . 1 ) ,

( 3 .9 )

и

(З .Т З )

и

убедиться, что при этом

и 2

и

Фг

также

удовлетворяют раз

решающим уравнениям для

оболочки.

теоремы; аналогичные доказанным во второй

главе

для

пологих

оболочек.

Из (3 ,4 ) и (3 .1 3 )

следует, что

W t(4 )+ W 2 ( $ ) = 2 / ? 0 c o s 4 .

(3 .1 5 )

Здесь

уже

учтено, что

для сферической

оболочки

( <*о~%о

(см . §

3 . 1 ) .

Будем

называть стрелой

прогиба f -

) , т .е . W

в ка­

кой-то

незакрепленной

точке,

координата

з£

которой обозначе­

на через

. Теперь

зафиксируем значение

рн

(не

уменьшая

общнооти раооуждения,

примем Рц~ О

)

и будем изучать

состоя­

при разных значениях

параметров

нагрузок p v

и

М

(внешний

контурный момент). Каждое такое оостояние будем отмечать

точ­

ной на плоскости ( f ,

М

) . Тогда изображающие

точки

для

двух

взаимно

симметричных

состояний

и

будут оимметрично расположены относительно точки

Tq

с коор­

динатами

f c = R0 COS 4 }

Mc ~ rT0 (1

так как

следстви­

ем из (3 .1 4 )

и (3 .1 5 )

являются равенства

t i + t 2 = Z t c > М 1 +М2 ~ 2 М С .

(3 .1 6 )

При

этом

Tf

соответствует значению параметра

р У1 ,

а

Т2

параметру

р У2 = - р У1.

Обратим

внимание на

то, что положение центра

симметрии

Тс

не

завиоит от граничных

условий

для функции

UГ О , т.е.

оно будет одним и тем же для подвижного, неподвижного

или

уп­

ругого (по отношению к перемещению

и

) шарнирного опирания.

Характеристика оболочки в

случае чистого изгиба

(ру =Ph=OJ^

т .е . геометрическое место

точек

Т

,

для которых

Ру-О явля­

ется кооосимметричной кривой о центром

симметрии

Tq

.

При

М - М с

и f - f c

будет

Ф = 0? т .е .

точка

Тс

изображает

состояние, когда оболочка вследствие

деформации

выпрямилаоь.

При

М= 2МС

и f ~ 2 f c

решение

будет и = 0

и

Ф = ~Ф0= ~ 4

(в чем легко убедиться непосредственно из разрешающих

уравне­

ний для сферичеокой оболочки). Имеет место выворот

оболочки.

Это и недеформированное

состояние взаимно симметричны.

Можно

доказать, что только у оболочек, изготовленных

из

линейно

уп­

ругого

материала, которые удовлетворяют

условиям

( 3 .1 0

) и

( 3 .1 2 ) ,

может произойти выпрямление

и полный

ее

выворот.

Критические

значения моментов

связаны

соотношением ( 3 .1 4 ) ,

это

позволяет ограничиться только

определением

верхней

на­

грузки, что весьма существенно, так

как

нижняя численно

нахо­

дится всегда, труднее' и с меньшей точностью,

чем верхний.

Рассмотрим

геометрические места точек

Т

,

соответствую ­

щих постоянному

значению параметра

p v

. Тогда

в

соответствие

с теоремой

симметрии кривая, соответствующая

какому-то

значе­

нию Ру

,

симметрична относительно

7^

с

характеристикой

при

-р'у .

При этом каждая из этих кривых не

есть

сама

по

се ­

бе кососимметрична (за исключением случая чистого

изгиба у0у~0).

Таким

образом, на плоскости ( f 9 М

) образуется пучок

по­

парно взаимно симметричных характеристик,

"Нанизанных"

на

одну

ный портрет,примеры которого для пологих, оболочек приведены

в

главе 2.Гестжарическоё

место точек пересечений

характеристик

это­

го деформационного портрета с осью

/

дает

решение

задачи

о

деформации шарнирно

закрепленного (при данных граничных

усло­

вий для

U )

сферического сегмента,

нагруженного только

на­

грузкой

ру

. Геометрическое

место

пересечений

характеристик

с какой-то прямой М -c o n s t

дает решение задачи

для

данной

оболочки

при

различных

значениях параметра Pv

и при

данном

фиксированном значении момента М . Геометрическое место

то­

чек Т

этой плоскости, отмечающих состояния

оболочки,

где

вследствие деформации угол поворота на ее крае

равен нулю.да­

ет решение задачи в случае жесткого защемления и действия

на­

грузки ру

(при данных граничных

условиях для

и

) .

Геомет­

рическое

место точек

Т

, для которых

угол

поворота

на

крае

оболочки

пропорционален

приложенному там

И

,

дает

решение

в