Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

ных условий для

и ( 2?) . При этом,, зная

свойства

решений при

Р у

одного знака, можно сразу

определить

свойства

решений при

Ру

противоположного

знака.

Так

например,если-при

каком-то

Ру

.хлопков нет, то

их не

будет

и при ~ ру^Если при даннсм

ру

характеристика

будет

пересекать

прямую М-М-con st в несколь-

ких

точках, то

кривая, соответствующая ру~~ р у ,

пересекает

прямую

М-М(ГМ в стольких

же

точках, И т .д .

( f,P y )

Рассмотрим теперь характеристики в плоскости

при

Р н ~ 0

и фиксированных граничных условиях для U(<$).Ea

этой

плоскости пары точек

Sf ( f T,p Y1)

и Ss (f2}~pvt')

, отмечающие

тельно

центра

симметрии S c

с

координатами /с = ^COS^ я

Pvc~° • Характеристики будем строить при фиксированном зна­

чении

М .

Тогда

характеристика

при

М - Мс =

будет

кососимметрична относительно

Sq

• Остальные

не будут

сами по

себе кососимметричными, однако каждая

пара характеристик,па­

раметры

которых связаны

соотношением

М}+ М2 - 2 Мс ,

будет

взаимно

симметрична относительно:

Sc

.

С учетом

этих

особен­

ностей все свойства деформационного портрета в

плоскости ( f t М)

переносятся

и на

этот случай.

Отметим одну особенность.Йели при

м ~ м с

имеются хлопки, то оболочка

будет при этом обязатель­

но и нежесткой, так как критические нагрузки связаны

соотно­

шением ( 3 .9 ) .

Мы рассмотрели свойства деформационных портретов,

когда на

оболочку

действуют М и p v .

Очевидно, что

то

же самое

бу­

дет иметь

место

и для

нагрузок

М и

£

(следящая

поперечная

н агрузка).

М

и

сосредоточенная

сила

Р .

Одним словом для

всех нагрузок,

допускающих применение теоремы

симметрии.

Теорема симметрии имеет место и для плоских

деформаций

непологих арок. Только в этом случае уравнение

(3 .1 4 )

записы­

ваемся

в

следующем виде.'.

MJS) *-Мг ($ )=

Z E J

■

(3 .1 7 )

- z -

к о

В случае бесконечно длинной •оболочки,

очерченной по

круговой

цилиндрической

поверхности, E J

надо

заменить

на

-D

.Поэто­

му и в этом случае имеют место все

вышеописанные

свойства ре­

шений и деформационных

портретов.

Из хода доказательства ясна,,

что теорема симметрии остается в

силе

как

для целой

сферы,

так

и для

замкнутого

кругового кольца

при деформации в

его

плос-

Зак ,188

кости: и бесконечно длинного кругового цилиндра,

нагруженного

поперечными нагрузками,. В заключение еще раз отметим,

что если

пренебрегать £ по сравнению с единицей, то теорема

симметрии

вовского типа в общем виде.

Теорема симметрии

становится

спрат

ведливой, если дополнительно

к допущениям

£ ^

1

принять,что

малы и производные от £

и оболочка

вместе

со своими формами

равновесия - пологая.

Таким образом,, можно утверждать,

что

симметрия

является

свойством определенного класса оболочек,

а не

свойством

урав­

В заключение отметим, что в

работе [ 5 2 ]

приводятся

час­

тично уточненные уравнения типа Э.Рейсснера,

где

учитываются

некоторые

добавочные

члены, которые

имеются

здесь.

£

Можно идти еще дальше по этому пути и учесть также

в

упругих соотношениях,

связывающих внутренние

интегральные си­

ловые факторы о перемещениями,

что

частично

сделано

в

[ 5 1 ] . ,

Для арок

это сделано

в работах автора [ 5 5 ] .

Эта

теорема,весьма

полезная

для

изучения деформации

арок,

названа в

[ 5 3 ]

теоремой

Альфана, а

в

[ 5 4 ] утверждается,

что

она принадлежит

Марбеку!

Поэтому

будем

ее

называть так , как ука­

зано в

заглавии.

Содержание этой

теоремы

следующее. Рассматри­

вается

плоокая арка произвольной формы,

испытывающая деформа­

следящего давления

ф .

Рассмотрим

произвольный

деформиро­

ванный участок

ЙВ

оси

арки,

показанный

на ри с.

9 .

Система

внутренних сил,

действующих

в

сечении

й

,

сведена

к

глав­

ному вектору Рд

и главному

моменту

Мд

. Проведем через точ­

ку $

вектор

Гд

, перпендикулярный к

Рд

, длина • которого

равна

_ ря

(4 .1 )

Я •

Полученную таким

образом

точку

назовем "центром си л ".

Тог­

да в

соответствие

с

теоремой Альфана -

Шрбена

имеют место

за ­

висимости

где /д -

в? - лИ

рв -*• гв

( 4 . 2 )

вектор,соединяющий центр сил с

произвольной тонной 8

Мв = Мд +

2 Сгв

г я ) -

( 4 . 3 )

Если

взамен точки Й

выбрать

точку

О

где

Мп=0, то

М.в

" г

( 4 . 4 )

Назовем, следуя Марбеку, ”окружно-т

стыо узлов" онружнооть с центром в

точке

С

и радиусом

/^.Очевидно,

в точках пересечения оси арки

о

этой окружностью изгибающие момен­

ты равны нулю и в сечениях

арки,

участки оси которой находятся внут­

ри и вне окружнооти узлов, изгиба­

ющие моменты имеют

противополож­

ные знаки. Если на концах арки нет

изгибающих моментов,

то

центр

ок­

ружности

узлов лежит

на

перпенди­

2

и с .

9

куляре к

прямой, соединяющей

кон­

оечениях

перпендикулярны к последней.

Приведем ряд

полезных

следствий из данной теоремы.

Как

следует

из (4 .2 )

и ( 4 .3 ) , в точках, где. Га

принима­

ет максимальные

(минимальные) значения,

величины \Р$\

и ^ *

ч мд -мя )

также

принимают

максимальные

(минимальные)

значения ■

экстремальное

значение, лежит внутри интервала изменения

Гв

,

то там же

4=0. Это и з-за

того , что

в

местах,

где

М(Г)шввч

экстремальное

значение 4 = 0 .

Если спроектировать все силы, действующие на участок ЙВ ,

оси арки (см .

рис. 9 ') на

ее

хорду

и на направление,

пер­

пендикулярное к ней, а также составить

уравнение моментов,

то

имеют место соотношения

я * 2

(4 .5 )

Тд ~Тв i Sfit'Se

где

Тй

и 5д -проекции Рд

соответственно на хорду и на нор­

маль

к ней ;

t - длина хорды.

Все

эти

замечательные

свойства,

вытекающие из

данной

тео­

ремы, которые

здесь приведены не в с е ,

получены

на

основании

чисто статико-геометрйческих

соотношений и поэтому они

спра­

ведливы для любых материалов

независимо

от их. реологичеоких

свойств. Указанные свойства

справедливы

и для любого

участка

деленное следящее давление, независимо

от

того, какие нагрузки

действуют на остальную часть арки,

§: 3 ,5 . Решения

некоторых простейших задач

теории

непологих оболочек и арок

а) Цельная

сферическая оболочка

радиуса Rq под

дейст­

вием следящего

давления С^-const .

В случае сферической оболочки удобно брать % -Фо

Далее, в атом случае p v = ^ c o s 0 ; р н = - ^SinФ. При этом

у > 0 ,

если давление действует снаружи.

задачи в форме Ф-Ф>о~^,

Будем рассматривать решение этой

посредственной подстановкой в уравнения ( I . I ) ,

( 1 .2 )

и

(1 .9 )

легко.убедиться, что они допускают следующее решение

для

рас­

сматриваемого случая:

=

= ^

=

const.

М^ = Мв = const ;е^ =еа =const

Ы= Rн c o n s t

•

г -

R sin %; V - - 7r ;

И

- - ~

c o s ^

; Q = 0 ;

= ]fg - j - c o n s t i

w =(R 0~ R )co s£

■

(5 ,i) _

R RoO^S-^} —радиус деформированной

оболочки.

Его

величина,

а также значения моментов могут быть

определены,

если

заданы

реологические (физические) соотношения. В случае линейно

уп­

ругого

тела и когда упругие

соотношения представлены в

виде

( I . I 2 ) ,

(1 ,1 3 ), значения

не найденных

выше величин даются фор­

мулами

i+& '

Mz,

R0(i+ e $ y

’

п _

г# о (1 -& )

(5 .2 )

W

Я -

2 E h

'

Wn

~ радиальное

перемещение

точек срединной поверхности,4Tq-

бы раскрыть качественную карти­

ну деформации,

приведем на рио,

10

характеристику

оболочки,

т .е , зависимость

безразмерного

параметра

нагрузки

от

,

построенную на

база

соотноше­

ния ( 5 .2 ) . Характеристика

со­

стоит из

двух

непересекающихся

ветвей , изображенных на рис. 10

сплошными линиями,, й

взаш&о

симметричных относительно

точ­

ки С(-1,~1) .

Р

и с .

10

Рассмотрим наиболее интересную ветвь I .

При

> ~ / (спра-

в а )< ? -> ч‘- 0 0 , т . е .

для

того , чтобы

сфера

сжалась в

точку,необхо­

димо бесконечно большое давление.

П р и ^ -> ~ /

(сверху)

-> +о°у

т . е . при действии

давления изнутри может произойти потеря устой­

чивости

при растяжении,заключающаяся в

том,

что

при

внутрен-

— .

о р и

нем

давлении'’ 0=

—— \ >

радиальное перемещение

VV/? =

Я с-

но,

Ко(<~Ю

п

уже

нельзя

считать

.

что при этом толщину

постоянной,

му учтем

это

изменение

так, как

это делается в

[ 27 J .

В [2 7 ]

дается следующая

зависимость для

переменного h =

= ~2ha e^

при <и=0,5 .

Тогда

характеристика

$ = / ( £ * « )

описы­

вается соотношением (5 .3 )

и имеет

вид,

изображенный

штрихпунк-

тирной линией на рис.

10.

е в~г£^

(5 ,3 )

8 - ------ при

<11-0,5.

При этом

У кр (соответствующая

экстремальной

точке

на

первой

ветви штрихпунктирной

кривой

на

рис.1 0 )

находится по Формуле

9 * р ~

. £ h 0

при

= 0,5 .

( 5 .4 )