Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

(§ 1 .2 ) получаем,что ы, (р) -ыф) > О, И з-за

этого

правая ч асть(3 .9,

будет положительна и согласно свойству 9

(§ 1 .2 )

функция В) (р)~

граничных условий

f 3 . I I )

(учитывая,что 9,(0) -

61(0) =0) ,

ука­

занная

Функция монотонной

быть

не может.

Итак,

единственно

возможно,

что

6фр)=вг(р).

^

2) Случай 91(р)+9г(р)&0 и

9,(р)-в, (р)ё 0

сводится

факти­

чески к предыдущему, если

принять во

внимание

пункт

г )

рас­

сматриваемого

свойства,

3)

9,(р) + ег(р)>0

и

в,(р)~ вг(р)4 0 .

Противоречивость

этого

случая

доказывается

точно так же, как и в

случае

I ) .

4)

Случай

Q1(p) + ez(phQ и

Q,(p)-9z(p)>P сводится

к

пре­

дыдущему вследствие пункта г ) данного свойства.

5)

Предположим,

что

9, (р)+9z(p)>0, а

9фр)~в1^ - з н а к о -

переменна.

04р -<pf

Пусть для определенности на первом интервале

зна

копостоянства 9,(р)-9г (р)

она

отрицательна

(на

концах

ин­

тервала ее значения нулевые). Тогда на этом интервале

правая

часть (3 .8 )

будет

положительна

и равна

нулю только

в

точках

р = О

и Р = Р ,

-

в какой-то

точке

0<р <р ;

,

функция

в,

- вг

должна

иметь

отрицательный минимум и,

следовательно,

правая

часть (3 .9 )

при

р ~ р

должна быть 1голожителъной.

Поэтому,

как легко

установить, должно быть

(о,(р)-ь)г (р)

> 0 .

Учитывая

это обстоятельство и что правая

часть

( 3 ,8 )

положительна,

мож­

но утверждать, что

на

полуоткрытом

интервале

0 < р ^ p t

функ­

ции oj, (р) -

ojz(р )

нуля

иметь

не

может,

так

как

это

проти­

воречило бы свойству

8, г

(§ I - 2 ) .

Поэтому

ю,-(Ог

может иметь

следующий нуль

только

в какой-то

точке

р

>р{ -На

следующем

интервале р 4 р 4

р &

знакопостоянства

в1 -

6г

она будет

иметь

положительный максиьум в какой-то точке р

<р

р г

и поэтому

cj1 (р )-cj2 (р)^0•Тогда р р р с р .

Второго

нуля

функция СО,-(Ог

иметь на данном интервале ' не может потому,

что

это

противо­

речило бы первому

неравенству ( 2 .4 3 ) ,

Таким образом,,

начиная с

точки

уэ

,

после

каждого

нуля

в, ~ вг

следует

(строга

правее)

один нуль

(J,

ыа

При этом

на каждом участке

знакопостоян-

ства

в ,

-

д 2

функция

-

со,

иметь

только

один нуль.

Расгютрим последний

интервал

р

4 р 4

/

знакопостоянен

ва 0г~вг

,

Если

и),-(Ог

удовлетворяет

первому

условию

( 3 .1 0 ) ,

то получаем противоречие,

так как ее нуль

в точке

р

=

7

будет

совпадать или находиться левее соответствующего нуля

функции

О - 0 2

, что невозможно.

Остается

поэтому рассмотреть

только

случай второго

условия

( 3 .1 0 ) .

0, - 9г

На рассматриваемом

интервале.

монотонной

быть не

может и з-за граничных условий ( 3 . I I )

и пусть

для

определенно­

сти она

имеет

в точке

р

с р *^

1

отрицательный

минимум.

Тогда

(о, - (Ог

будет

иметь нуль

в

какой-то

точке

рп с р \ р

и на участке

р * ^ р а 1

она будет положительной,

'

Применим

для уравнения

(3 .8 ) соотношение

(2 .2 7 )

на

интервале

р

с р &1.

Имеем тогда,

если

учесть

( 3 .8 ) :

-

I M z * b m - e i l d e . = f W,-< u a) ( V -

) j ^ h

r

(cO,-(Qt)‘

\

+

I

I

-

[(а ,

со'г )\ ~ р (ы,-й)в)] dp

. (3 .1 2 )

2

"

P

Р-I

* *

Интеграл

из

левой

части

(3 .1 2 )

больше

нуля.

Посчитаем

правую

часть

( 3 .1 2 ) ,

которую обозначим

через

а

.

В

силу

второго, у с­

ловия

( 3

.1 0 ) ,

получаем

Y ^ r ^ z f d f

± ( > f -L)(a>1-

« , / /

~

гГ j

p i

fy

-

((0, ~ Ог) / c O .

(3 .1 3 )

p,

P

P*i

Последнее неравенство

получено

посредством неравенства

Шварца

[ ? ]

Г

в

I *

*

*

Jcf(p)F(p)dp

4 j? * (f)J p

J

(3 .1 4 )

О

- 1

cf

Q

При этом браяось

Неравенство (3 .1 3 ) показывает, что (3 .1 2 ) может

иметь

место,

если только

вг(р) = вя(р) и

в a>gQo)rт . е .

в данном

случае

имеет место

единственность решения.

6) Случай df(p)*e2(p)^ 0

и 9}(р)-9г(р) знакопеременная функ­

при принятых условиях относительно нагрузок функция

в

долж­

на быть знакопостоянной. Таким образом, все возможные

вариан­

ты

исчерпаны и данное совйство

ж)

полностью

доказано.

Приведенное доказательство охватывает большее число

слу­

чаев,

чем это указано в

условиях данного

свойства.

Оно

спра­

ведливо для любых нагрузок,

если

только

9, + в 2 и

Of

вг

одно

временно

знакопостоянны

или

когда

9, + дг

-

знакопостоянна,а

91 -

в 2 -

знакопеременна.

Физический смысл доказанного

свойства заключается

в

том

(как

уже

отмечалось выше), что при

заданных

условиях

у

пла­

стины не может произойти потеря устойчивости в большом

(хло­

пок), как , впрочем, и в малом. Это справедливо, ели опора

не­

подвижная

или подвижная,

когда контурное

усилие

Л/ >

0

и по­

перечные

нагрузки

- все

одного

знака

или равны

нулю и их

знак

совпадает со

знаком

контурного момента

М

или

М = 0 .

В

частности,

здесь

доказано, что пластина не

может

быть

нежесткой

по терминологии

И.ШЗоровича

[ 1 7 ]

, т .е .

при

ну­

только одно единственное,

тривиальное ( 0 = 0

,

(0 = 0 )

состо­

яние равновесия. Однако из

изложенного вовсе

не

следует,

что у

пластины не может быть потери устойчивости в большом.

Наоборот,

нам представляется,

что

такое можете

произойти

(хотя

на

первый

взгляд

это кажется парадоксальным), исходя из следующих

физи­

ческих

соображений.

Если

поперечные

нагрузки

например,

поло­

значениях указанных

нагрузрк хлопок вероятен, так

как

дейст­

вие поперечных сил превращает фактически пластину в

оболочку,

а дополнительное воздействие

моментов может вызвать

хлоно'к,

з ) Как указывалось при обсуждении свойства 2

за счет

при­

ложения к краю пластины положительного нормального усилия

N

можно добиться того ,

чтобы

со(р) была монотонно

во зр аста ­

ющей положительной функцией и тем самым избежать потери

устой •

чивости цо неосесимметричным форам.

Найдем величину N> О, обес­

печивающего

данное условие. Покажем,

как

это

сделать

на

при­

мере, когда край пластины защемлен

( в ( 1) = 0 )

я

действует

равномерно распределенная поперечная

нагрузка

9 >

О .

Тогда

согласно пункту

д ) данного

свойства

в(р)>уО

и она

будет до­

стигать своего максимального, значения

в какой-то

точке

Q*~j> <

< 1 , где правая

часть (3 .5 ) будет принимать

отрицательное зна­

чение (свойство

ПГ §> 1 - 2 ) .

Отсюда,

если еще учесть, что

ц(р)>

0

, Р = Р ,=

0

и

u (j})^ o,

получим неравенство

п , Ы р )в (р )

ЧР

или

0

< в (р )<

ЧР*

(3 .1 5 )

р

2

г щ р )

Последнее неравенство может быть усилено

следующим

образом.

Из-за монотонного убывания функции

j j f

(ом .

пункт а )

данно­

го

свойства)

и грничного условия (ои)= Ы> 0

,

можно

записать,

что

~-j!p

N .

Отсюда, усиливая

(3 .1 5 ).,

можно записать

а

o * e ( p ) < Y N

'

(з.хв)

С другой стороны,

применяя

( 2 .4 )

и

(2 .5 )

к

и (р )

,

получим

1

(3.17)

ы'(р) =

dA

9*с/л J >

f

о

о

Отсюда со (p) > 0

, если только

16

(3 ,1 3 )

Зак.188

Разум еется, что (З .Г 9 ) -

только достаточное условие и действи­

тельная нижняя граница

значений

N , при которых нет

потери

устойчивости

по

неосесимметричным

(тан

и по

осесимметричным)

формам,может

быть

ниже,

чем по

( 3

.1 9 ) г

но во

всяком

случае

N > 0 .

Соотношение

(3 .1 9 )

остается

в

силе

и в

случае

шарнирного'

закрепления,

когда М =0

, так как

в этом

случае

ничего

в вы­

мального значения внутри интервала

( 0 ,1 ) ) . Таким же путем, как

было

выведено ( 3 .1 9 ) ,

могут

быть

получены аналогичные

соотно­

шения при других нагрузках

и граничных условий для

в ( р ) .

С в о й с т в о

4 .

Для каждой

оболочки существует

нижняя

граница возможных значений

а) (р)

, еоли пооледняя

удовлетво­

ряет

одному из условий

СО(1)= N

или

(о '(1) - £1й) (1) = 0 .

(3 .2 0 )

Эта граница определяется соотношением (3 .2 6 )

и не

зависит

ни от граничных условий для

9(р )

(если последние независимы от

со

) , ни о< поперечных

нагрузок

и значений контурных

момен­

тов

М .

9

(р) и со(р)

Для доказательства

этого свойства представим

Для 9

в виде

в(р) = в(р ) + вА(р ); ы (р)= й (р) <ыа (р) .

(3 .2 1 )

в(р)

- известная функция, вид которой будет определен

ниже.

ы(р)

есть решение уравнения (3 .2 2 ) при тех

же граничных усло­

виях,

чт.о и для

со(р) ;

L (w )— j p [ e * + 2 e e 0] .

(3 .2 2 )

Тогда

подставляя

в и со

в форма (3 ,2 1 ) в

уравнение

( I . I ) и

учитывая ( 3 .2 2 ) ,

получим

уравнение для ьол (р ) '■

(3 .2 3 )