Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf

значения

у

равен нулю

(сравните с § 8 ) .

Если при каждом /

некоторое

распрепеление

сосредоточено

в одной точкэ

множества

%(4), то есть

/ ? (&^^

$(#№-#4.

то, благодаря

свойствам

функции Дирака,

интегралы-^fpJiiJp(p)

бупут совпадать с

3(^^соответственно.

Таким образом,

может и не быть $

- функцией. Так что множество Д расши­

ренной задачи тире,

чем множество допустимых решений в задаче

исходной, а значит

величина

Б. Условия оптимальности задачи

( 1 3 . I I *

13.14)

Пусть

вектор-функция

J-

т

-

мерная

Введем в

пространстве £

€

/ ( ? М * '

множество

, зависящее

ва

. Причем для любого

значения

П1

- мерного

вектора

7?

оптимальное решение

соответствует

максимуму

£ в

, т . е .

границе (Го

. Любой элемент границы выпуклой оболочки множе­

ства

в

( ГП

мерном пространстве может быть получен как

среднее

не более,

чем из (

t / )-го элемента

Z - 7 ,

то есть

распределение

Р

^^/Усосредоточено

не более,

чем в ( rr>t /

точке ^ х , ^ )

для каждого

~£

.

Значит,

можно перейти

от за ­

дачи

( 1 3 . I I

13.14) к равносильной

ей

Z £ М - l -

( i 3 . i ^ )

К'о

r

Разрешим условие (13.13а)

относительно ^0(4:)ъ подставим в

(13.Ца)

и

(I3.I^aJ.

Получим

Тр =

/12£ШГ*Ф+1(4,Ш-1Ш№К

Булегл называть базовыми

те

значения

tj'^ , для которых

f ^ j > 0 .

эти

значения для каждого

£

образуют множество Vg$(\£.

Используем

для расширенной

запачи

(13.11,3), (13.1^в) необходимые

условия

оптимальности п . 1 3 . 1 .

т

Функция

примет вид

[ettfi.s;-

eu&sjjv&io,

( i 3 . i 5 )

где

функция

@ соответствует исходной

изопериметрической за­

даче

( 1 3 . I I

+ 13.14).

Из (13.15) следует

у/J

=

"Р"

Я * V/

(13.16)

pfrp.jj

tt^T.e.j/^y/

(13Л7)

Так как хотя бы одно значение ^^(4J строго

положительно, бу­

дем

считать,

что

О ,

а значит

№ J

-

базовое управ­

ление. Тогда

условия

(13.16),

(13.17) приводят

к

форму-^ровкв

необходимых

условий

оптимальности расширенной

задачи:

f3f

заменить усреднение по множеству в /13.18/, /13.19/

усреднением

по времени /введение

Atn(i)вместо

<fK(i)./. Таким

образом,

верхняя

грань функционала JT з исходной задаче

равна ХР(Р*)в

расширенной.

В,Условия оптимальности исходной задачи на множестве ограничен­

ных кусочно-непрерывных функций

Необходимое. Если

есть решение задачи /13.12/, то найдет­

ся

такое

значение

j/

/ ч т о выполняется условие

/13.10/.

В самом деле, так как

Su/o2=Muf2j))io в расширенной задаче

P^f/J-

SfyftJ-jS/Zjl то есть для каждого

/

множество

базовых

значений

^

состоит

из

одной

точки ^

*,в которой и

выполнено /13.10/.

Достаточное. Если условие /13.10/

выполнено при каждом

£

в

единственной

точке ^

£

Vy, то полученная функция £f*@J является

решением

изопериметрической задачи.

Действительно,

она доставляет

максимум

~Гр, который не меньше

оптимального

значения JT.Ввиду непрерывности

функции / ? n o j / и

"£

полученное решение кусочно-непрерывно

/докажите

это/ и при каждом

-£

принадлежит

Vy . Таким образомч

^/допустимо

для задачи

/13.1+13.2/,а значит оптимально.

Условия,полученные в

п . 1 3 . 1 , гарантировали

существование J

лишь

в случае

узкого множества L и ограниченного

класса

функций J?0 ,

J

, ^ ' . Как следует

из

вышесказанного, множитель

и/

существует

для гораздо

более

широкого класса

функций Jg

t

_/

, ^

и множества .

сравнения, совпадающего о & .

13.3 Примеры

у.

Пример I

Su^T^

S^J-fit-

Qsfa//

при условии

3 =

J i

t X Q / i f

\ ^

/

j

f A

/ >

/13.20/