Файл: Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
С л о ж е н и е двух матриц А и В определено тогда, и только тогда, когда число строк матрицы А равно числу строк матрицы В и число столбцов матрицы А равно чис лу столбцов матрицы В. Тогда суммой этих матриц назы
вается матрица, составленная из сумм |
соответствующих |
||||||||||||||
элементов матриц |
А и В: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
! «1 1 + |
^11 |
«1 2 + |
ьп-• |
• аы |
+ |
ьш |
|
|
|
|||
Ащп ~\г &п |
I « 2 1 |
+ |
^21 |
« 2 2 + |
*22 • • • аЪп |
+ #2ш |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ Л2 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
l K + |
* / , I U |
|
|
|
|
|
(3.7) |
|||
Аналогично определяется и вычитание, матрицы |
|
б из |
|||||||||||||
матрицы |
А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Апт — В,т = |
|| а, ; — |
||л„;. |
|
|
|
|
(3.8) |
||||||
Матрица, все элементы которой равны нулю, назы |
|||||||||||||||
вается |
н у л е в о й |
и обозначается |
символом |
0 или Опт; |
|||||||||||
|
|
|
д |
л |
|
п |
|
|
|
|
|
|
(3.9) |
||
П р о и з в е д е н и е м |
матрицы |
^ = |
||а/.||ят |
на |
|
ч и с |
|||||||||
л о с |
называется |
матрица, каждый из элементов |
которой |
||||||||||||
получен |
умножением |
|
соответствующего |
элемента |
|
матри |
|||||||||
цы А на число с: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
сАпп, = Аптс |
|
- ] |
|
|
|
|
|
|
|
(ЗЛО) |
||
Если |число столбцов матрицы А„т |
равно |
числу |
строк |
||||||||||||
другой матрицы Bmq, |
то п р о и з в е д е н и е м АВ этих ма |
||||||||||||||
т р и ц называется |
матрица |
Cnq, |
определяемая по |
|
прави |
||||||||||
лу: чтобы найти |
элемент сц, |
находящийся |
в t-й строке и |
||||||||||||
в /-м столбце матрицы |
С, надо |
каждый |
из элементов t-k |
||||||||||||
строки матрицы А умножить на соответствующий |
элемент |
||||||||||||||
/-го столбца матрицы |
В и полученные |
произведения |
сло |
||||||||||||
жить |
(рис. 3.1)": |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c t ] = |
aixbx. |
|
4- ai2b2j |
- f . . . + |
|
ciimbnJ. |
|
|
|
(3.11) |
|||
Произведение двух матриц равно транспонированному произведению транспонированных сомножителей, взятых в обратном порядке:
АВ = ( 5 М Т ) Т |
(3.12) |
124
Приведем другие формулы, выражающие основные свойства сумм и произведений матриц:
А+(В |
+ |
С) = (А + |
В) + С; А + |
В=В |
+ |
А; |
(3.13) |
|
А(ВС) |
= |
(АВ)С; |
(А + В)С = |
АС + |
ВС. |
(3.14) |
||
Матрица, |
разделенная |
горизонтальными |
и |
вертикаль |
||||
ными прямыми |
линиями |
на несколько |
частей, |
называется |
||||
б л о ч н о й |
(клеточной), |
а матрицы, из которых она со |
||||||
стоит,— б л о к а м и |
(клетками). Если |
существует |
произве |
|||||
дение АВ матриц |
А и В, |
то можно разбить |
их на блоки |
|||||
Рис. 3.1. Умножение матриц С т = АтпВ
таким образом, что станет возможным отыскивать произ ведение АВ по общему правилу умножения матриц (рис. 3.1), обращаясь с блоками так, как будто это чис ла. Для этого надо следить; чтобы выполнялось условие, при котором умножение блоков возможно: число столбцов в первом сомножителе обязательно должно быть равно числу строк во втором сомножителе. В частности, если
FUm |
В: |
(3.15) |
А == |
||
Н пт |
|
Г m.q |
то |
FT |
CS.+ FU |
CL + |
||
АВ = |
|
(3.16) |
GL+HT |
GS + HU |
|
Матрица, число, m строк которой равно числу столбцов, |
||
называется к в а д р а т н о й |
матрицей порядка т. Квадрат |
|
ная матрица Атт=* ||аи\\ |
называется с и м м е т р и ч е - |
|
125
с ко и, если ее элементы, симметричные относительно глав ной диагонали, равны между собой, т. е. при любых i и / соблюдается равенство
a l j = a j l . |
(3.17) |
Из этого определения ясно, что симметрическая |
матри |
ца равна своей транспонированной матрице: |
|
Л = Л Т . |
(3.18) |
При умножении двух симметрических матриц (только симметрических!) в обратном порядке их произведение не меняется:
|
АВ=ВА. |
(3.19) |
Д и а г о н а л ь н о й |
называется |
квадратная матрица, |
все элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Очевидно, что любая диагональная матрица
. является симметрической.
Е д и н и ч н о й называется диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице. Она обо значается символом Е или, если надо указать, что ее поря
док |
равен п, символом |
Епп. |
|
|
|
|
|
П р о и з в е д*е н и е |
любой матрицы |
/Г на |
е д и н и ч- |
||||
н у ю |
м а т р и ц у |
равно исходной матрице: |
|
||||
|
Епп^пт = |
Л л т , |
АптЕтт |
= |
Апт, |
(3.20) |
|
Для каждой |
квадратной |
матрицы |
существует |
ее о п р е- |
|||
д е л и т е л ь (детерминант)—число, |
отыскиваемое по об |
||||||
щим правилам вычисления определителей [9, стр. 146—148]. Если в матрице Апт выбрать k произвольных строк и столько же произвольных столбцов и образовать из элемен-. тов, стоящих на их пересечении, квадратную матрицу, то
определитель этой матрицы |
называется м и н о р о м /е-го |
порядка матрицы Л. Р а н г о м |
матрицы А называется мак |
симальный порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Очевидно, что ранг матрицы Апт не может быть больше, чем минимальное из /чисел п и т. Важно знать также, что ранг произведения нескольких матриц не пре восходит минимального из рангов отдельных сомножите
лей. |
|
|
|
|
|
Квадратная матрица, |
ранг |
которой равен |
ее |
порядку |
|
(т. е. такая |
квадратная |
матрица, определитель |
которой |
||
отличен от |
нуля), называется |
н е о с о б е н н о й . |
Для каж- |
||
126
дой неособенной матрицы Л„„ существует матрица Л - ' , называемая о б р а т н о й по отношению к матрице А и отыскиваемая из уравнения .
|
Л Л " 1 = ЕПП |
или А-1 А = Е„ |
( 3 . 2 1 ) |
Операция |
отыскания матрицы, обратной по отношению |
||
к матрице Л, |
называется |
о б р а щ е н и е м этой |
матрицы. |
Если матрица |
А — симметрическая, то и матрица |
Л - 1 так |
|
же будет симметрической. Нам придется обращать только симметрические матрицы. Для этого удобно пользоваться схемой Гаусса. Пример таких вычислений приведен в § 3.5.
Наиболее простым является обращение диагональных матриц. Пусть дана такая матрица С, причем для упро щения записи г'-й отличный от нуля элемент, находящийся в 1-й строке и в i-м столбце, обозначен символом с,-:
|
|
|
|
С! |
О . . . |
О . . . О |
|
||
|
|
|
|
О с 2 . . . О . . . О |
|
||||
|
C = \\ct\ |
|
О 0 . . . с , . . . О |
(3.22) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
О 0 . . . |
0. |
|
|
||
Тогда матрица |
С - 1 |
= || dl || пП |
будет также |
диагональной, |
|||||
причем ее- t'-й |
отличный |
от |
нуля |
элемент |
d{, |
находящийся |
|||
в 1-й строке и в i-м |
столбце, |
равен |
|
|
|
||||
|
|
di |
= \\cl |
= |
с~К |
|
(3.23) |
||
К в а з и д и а г о н а л ь н о й |
называется |
блочная матрица |
|||||||
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| К, |
0 |
. . . |
0 |
|
|
|
|
|
|
О К2... |
|
О |
|
|
(3.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О О
где Ки К2, • • •, Km — квадратные матрицы, а все остальные элементы — нули.
Из правила умножения блочных матриц следует, что
•Л'Г1 |
О . . . О |
О |
/ С ; - ' . . . О |
/ С - 1 = |
(3.25) |
о |
о . . . /с-' |
Большой интерес представляет частный случай обра щения квазидиагональной матрицы
1<1 |
0 |
0 |
(3.26) |
|
когда все диагональные элементы квадратной матри цы /<,—очень большие (практически бесконечно большие)
числа, а недпагональные |
элементы конечны. |
Тогда |
|
|
О |
о |
(3.27) |
r " - i |
6 к-1 |
||
|
|
||
С л у ч а й н о й матрицей называется матрица, элемен |
|||
тами которой являются случайные величины. |
М а т е м а т и |
||
ч е с к и м о ж и д а н и е м |
M(W) |
случайной |
матрицы W |
называется матрица,, каждый из элементов которой равен
математическому |
ожиданию |
соответствующего |
|
элемента |
|||||||||
матрицы |
W. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
Х = |
|| д-. || д 1 |
—случайный |
вектор; |
Л —вектор, |
||||||||
компонентами |
которого |
являются |
отклонения |
элементов |
|||||||||
случайного вектора X от их математических |
ожиданий: |
||||||||||||
Д: |
1М1,„ = х, - |
М (Xj) |
||я1 — X — М {X), |
(3.28) |
|||||||||
где М{...)—символ |
математического |
ожидания. |
Рассмо |
||||||||||
трим матрицу ДДТ . Ее элемент, |
расположенный в /-й строке |
||||||||||||
и в /'-м столбце, |
представляет |
собой |
произведение |
||||||||||
диагональными |
элементами |
будут |
квадраты |
Д 2 , Д|, |
|||||||||
Д2 отклонений |
|
компонентов |
случайного |
вектора |
А' от их |
||||||||
матемэтических |
|
о ж ид а н ий. |
|
|
|
|
Кх |
|
|
|
|||
К о р р е л я ц-и о н н о й |
м а т р и ц е й |
|
случайного |
||||||||||
вектора X называется |
матрица |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
КХ |
= |
М(ЬАТ). |
|
|
' |
|
|
(3.29) |
||
128