Файл: Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 89

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Из этого определения видно, что корреляционная ма­ трица есть симметрическая квадратная матрица. Ее диаго­ нальными элементами являются дисперсии компонентовхи Х2, х„ случайного вектора X. Элемент, расположенный в /-й строке и в j'-u столбце корреляционной матрицы, представляет собой корреляционный момент случайных ве­ личин Xj и Ху.

Если G = G m n — некоторая неслучайная матрица и зави­ симость между случайными векторами Хт\ и Уп\ устанав­ ливается выражением

 

 

X — GY,

 

 

(3.30)

имеют

место

важные равенства

 

 

 

 

 

M(X)

=

GM(Y);

 

 

(3.31)

 

Кх = М (Д^Дт.) =

М [GAY

(GAyy]

=

 

 

 

= GM (Ду Др) G T = GKYG\

 

(3.32)

где

 

 

 

 

 

 

 

Ку — корреляционная

матрица

вектора

Y.

 

К о р р е л я ц и о н н а я м а т р и ц а и э л л и п с о ш и ­

б о к .

Пусть

^ = 11^11 — случайный

вектор,

компонентами

которого являются прямоугольные координаты хи

х 2 неко­

торой

точки

на плоскости

(например, разность

широт и

отшествие счислимого или обсервованного места корабля относительно условной точки, принятой за начало коорди­

нат).

Тогда его корреляционная матрица

 

 

/ ^ =

Л Г { 1 ^ - Ж ( ^ ) ] [ ^ - М ( ^ ) ] Т )

=

Кп

Кп

(3.33)

к21

К22

характеризует ошибки, с которыми

 

известно

положение

этой точки (место корабля). Другим способом, каким мож­ но характеризовать эти ошибки, менее удобным в вычис­ лениях, но в кораблевождении получившим большее рас­ пространение, поскольку считается, что он более нагляден,

является

указание полуосей a, b среднего квадратического

эллипса

ошибок и угла ф, который его большая

полуось

составляет с осью Ох\.

 

 

 

Корреляционную матрицу можно считать не менее на­

глядной

характеристикой:

если она известна,

то

размеры

и ориентировку эллипса

ошибок легко себе

представить.

7,5—858

129

Предположим (рис. 3.2), что начало системы координат совпадает с _центром эллипса. Тогда, как известно, вели­

чины ± \' 1\п п ± }' К22

будут соответственно абс­

циссами и ординатами параллельных осям координат сторон прямоугольника, в который вписан эллипс сшибок.

Абсцисса

течки касания А равна

/\Г12: К/С221

ордина­

та точки

касания В равна К п '• V~Кц • Если

/(|2 >0,

направление большой полуоси эллипса лежит в первой

Рис. 3.2. Эллипс ошибок и элементы корреляционной матрицы

(третьей) четверти, если /d2 <0,-J -BO второй (четвертой) четверти. Если К1а = У К ^ > то х Ц А ) = VW7i i х2 ф ) =

= V/<22- Это означает, что эллипс выродился в век­ ториальную ошибку (совпадает с диагональю прямоуголь­ ника).

Переход от первого способа характеристики ошибок места точки ко второму осуществляется по общеизвестной системе формул:

а? = Кп cos2

<j> +

/С12 sin 2<|> +

К22 sin2 ф =»

= \ (Кп+К22)

+

V-T

~ К

^ 2 + / c i 2 ; (3-35)

130

£ 2 = i < u sin2 i| — Кп sin 2 t + K22 cos2 Ф =

от второго способа к первому — по формулам:

 

/Сп =

л2 cos2 ф + ^2 sin2

(3.37)

 

/C22 =

« 2 s i n 2 ^ +

^2 cos2 ^;

(3.38)

^

i 2 =

4 - ( A n - ^ 2 2 ) t g 2 « l > .

(3.39)

С л у ч а й н а я

ф у н к ц и я .

Если

величина X

случай­

ным образом меняется

при изменении

аргумента

t, ее на­

зывают случайной функцией аргумента t и обозначают

символом

X(t).

Величина

X(t'),

соответствующая некото­

рому фиксированному

значению

f

аргумента t,

есть

слу­

чайная величина. Она

называется

 

с е ч е н и е м

случайной

функции, соответствующим данному значению f

аргу­

мента I.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М а т е м а т и ч е с к и м

о ж и д а н и е м

случайной

функ­

ции Х(1)

называется

неслучайная

функция Mx{t)

аргу­

мента t,

которая

при любом значении t

равна

математи­

ческому ожиданию соответствующего сечения случайной функции:

 

Mx(t)

= M[X(t)].

 

(3.40)

Случайная

функция,

математическое

ожидание

кото­

рой при любых

значениях аргумента t равно

нулю,

назы­

вается ц е н т р и р о в а н н о й

с л у ч а й н о й

функцией.

Д и с п е р с и е й случайной

функции

X(t)

называется

математическое ожидание квадрата отклонения случайной

функции от ее математического ожидания. Дисперсия

так­

же

является

неслучайной функцией

аргумента

t:

 

 

 

Dx

(/) =

D [X (01

—М{[Х

(t) - М х

(Z)]2 }.

(3.41)

 

К о р р е л я ц и о н н о й

 

ф у н к ц и е й

от

случайной

функции X(t)

 

называется

корреляционный

момент

сечений

случайной функции, соответствующих значениям f

и t" ар­

гумента t.

Корреляционная

функция является

'неслучай­

ной функцией

аргументов f

и t":

 

 

 

 

 

 

Rx

(*', t") =

M{[X

(t>) -

Mx

(?)]

[X

(t") - Мх (t")}}.

(3-42)

X(t)

С т р у к т у р н о й

ф у н к ц и е й

случайной

 

функции

называется

математическое

ожидание

квадрата

раз­

ности сечений

случайной

функции,

соответствующих

зна-

725*

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

131

 

чениям I' и I" аргумента t. Структурная функция тоже яв­ ляется неслучайной функцией аргументов t' и t"\

Sx

(?,

t") = М {[X

{t") - X

(О] 2 } .

(3.43)

И н т е г р а л

от

случайной

функции

X{t)

по аргумен­

ту t является случайной функцией аргумента t. Математи­ ческое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания. Корреляцион­ ная функция интеграла от случайной функции равна ре­

зультату

двукратного

интегрирования

корреляционной

функции

исходной

случайной

функции по аргументам ?

и t".

Если

Y(t) =t\x(t)dt,

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.44)

то

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

M[Y(t)] = My(t)=jjMx(t)dt;

(3.45)

Ry (*', t") = M{[Y(t<) - My

(*')] [ Y (t") -

 

 

 

v

r

 

 

 

 

 

 

 

 

= \ \

 

ndt'dl".

 

 

(3.46)

 

 

 

6 б

 

 

 

 

 

 

Э л е м е н т а р н о й

с л у ч а й н о й ф у н к ц и е й

назы­

вается случайная

функция

вида

 

 

 

 

 

 

 

X(t) =Zf{t),

 

 

(3.47)

где

Z — обычная

случайная величина,

не

являющаяся

f

 

функцией

аргумента

t;

 

 

 

(t)—неслучайная

 

функция

аргумента

/.

 

Согласно доказанной В. С. Пугачевым теореме любая

случайная

функция,

дисперсия

которой

конечна,

сколь

угодно большим числом

способов

и со сколь

угодно

малой

ошибкой может быть представлена в виде суммы ее мате­

матического

ожидания и конечного числа элементарных

случайных

функций:

 

 

s

 

 

Y{t)=My(t) + yiZrfr(t)-TR(t),

(3.48)

где ZXy ..., Zs — взаимно некоррелированные случайные ве­ личины с математическими ожиданиями, равными нулю;

132

R (t)—остаточный

член

канонического разложе­

 

ния (является случайной функцией аргу­

 

мента

t).

 

 

Выражение

(3.48)

называется

к а н о н и ч е с к и м

р а з ­

л о ж е н и е м

случайной

функции

Y (/). Для любой

случай­

ной функции можно найти такой набор конечного числа

неслучайных функций fr(t),

чтобы дисперсия остаточного

члена R(t) ,была

меньше любого

наперед заданного числа.

Случайная

функция

X(t)

называется

с т а ц и о н а р ­

ной, если все ее вероятностные характеристики

(матема­

тическое

ожидание,

дисперсия,

корреляционная

функция

и т. д.)

не изменяются,

когда

ко всем значениям

аргумен­

та прибавляется одно и то же произвольное

число т (на­

пример,

корреляционная

функция не изменится, если от ар­

гументов

С и t"

перейти

к аргументам t' + t\

t"+x).

Математическое

ожидание

и

дисперсия

стационарной

случайной функции суть постоянные числа. Корреляцион­ ная п структурная функции являются функциями только

одного

аргумента

т,

где i = l" — /' — разность

значений t"

и V аргумента

t.

Имеют

место

важные

соотношения

 

 

 

 

 

Rx(0) =

Dx;

 

 

(3.49)

 

 

 

Sxtf

 

= 2[Rx(0)-Rx(x)].

 

 

(3.50)

Если

X(t)—стационарная

случайная

функция,

причем

Y (t) =

\ X

(t)

dt,

 

то в

силу

четности

корреляционной

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции Rx(t)

дисперсия

случайной функции

Y(t)

равна

 

 

 

Dy(0

= 2ij(t-x)Rxtfdx.

 

 

(3.51)

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

§ 3.2. ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА НАИМЕНЬШИХ

 

 

КВАДРАТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ КООРДИНАТ

 

 

 

 

ОБСЕРВОВАННОГО МЕСТА

 

 

 

Удобно

выбрать

систему

прямоугольных

координат

Ох\Х2 с началом в произвольной точке, близкой к прибли­

женно

известному месту

корабля,

таким

образом,

чтобы

ось Ох\ была направлена

по меридиану

этой точки к се­

веру,

а ось Ох2 — по

параллели к востоку. Тогда

абсцис­

са Х\ будет совпадать

с разностью

широт,

а ордината х2 —

с отшествием искомой точки от начала координат. Пусть

6—858 133

Смотрите также файлы