ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
При критическом режиме (т. е. при R —1) уравнения для
флуктуаций принимают |
вид |
|
|
üt |
|
|
||
К |
= |
—ѵ'і |
+ |
— yo + /о (Ol |
||||
|
= |
— v'0v'z |
|
fi |
(Oi |
(8-48) |
||
vri= v 'o v'i + |
|
|
|
/2(г). |
||||
г).; |
|
|
|
— 2i\' + |
||||
Флуктуации компоненты у' можно описывать линеаризирован ным уравнением (аг <^ 1), и для их дисперсии получаемой'2)' = = а2/2. Компоненты же ѵ0 и ѵ[ будут уже описываться нелинейной системой уравнений
ѵ0= —1\ — Ѵд+ /о (і). к = |
+ Л (0. |
(8. 49) |
и линеаризация недопустима.
Усредняя (8. 49), получаем для стационарных флуктуаций
<УЛ> = 0, |
<>;> = - < 0 - |
(8.50) |
Кроме того, умножая первое уравнение (8. 49) на у', |
второе на |
|
у', складывая и усредняя, получаем выражение |
(8.51) |
|
< 0 |
= 2°s- |
|
Как отмечалось выше, при критическом режиме усиливается интенсивность флуктуаций ѵ[ и, следовательно, увеличивается величина <(ѵ'0) , в то время как дисперсия флуктуаций ѵ0, согласно (8. 51), существенно не изменяется. Поэтому ясно, что для оценки флуктуаций ѵ0 и ѵ[ можно заменить во втором уравнении системы (8. 49) величину ѵ'0 на <)/,) и, следовательно, рассматривать упро щенную систему
ѵ'0 =z —v[- — г’ + /о (t), v[ = <у;> v[ + f, (*). |
(8. 52) |
Откуда получаем для стационарных флуктуаций ѵ'0 и ѵ[ выражения
<у;2> = ^ у ; > = а. |
(8.53) |
Аналогично получаем, что временная корреляция компоненты при критическом режиме имеет вид
<У[ (t + О ѵ'і (Ф = о exp {—а I т |},
что дает для временного радиуса корреляции выражения — 1/о. Рассмотрим теперь закритический режим (R )> 1). Стацио нарное распределение вероятностей для компоненты ѵг имеет вид, схематически изображенный на рис. 31, с двумя максимумами:
в окрестности |
vl n = +\jR |
— 1, |
соответствующими |
устойчивым |
||
стационарным |
состояниям; и |
минимум при ^ = |
0 |
, |
отвечающий |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
неустойчивому состоянию. Эта плотность соответствует усредне нию по ансамблю реализаций случайных сил f.
Если же имеется одна реализация, то система с вероятностью 1/2 придет в одно из положений, соответствующих окрестности
130
максимума распределения. В работе Глуховского и Кляцкина (1973) численно моделировалась система уравнений (8. 45). На рис. 32 приведены результаты численного решения для двух реализаций случайных сил при R = 6 и а2=0,01. Не изображен ная на этих рисунках компонента у 2 слабо флуктуирует относи
тельно |
своего стационарного состояния у2= 0 . В данном случае |
будет |
формироваться распределение вероятностей (усреднение |
по времени или по ансамблю сил, приводящих систему в это со стояние) в окрестности положений максимума (рис. 33). При этом для нахождения статистических характеристик решения может
быть |
использована |
теория возмущений по параметру о2. |
|
|
U W |
Рис. |
31. Стационарная |
плот |
ность |
распределения |
вероят |
ностей значений компоненты ѵг динамической системы (8. 45)
(случайные силы |
действуют |
на все компоненты |
системы) |
при R > 1
Пусть система приходит в состояние, соответствующее устой чивому положению равновесия уоот= 1 , vl0J = \jR — 1, v2DT = 0. Тогда для флуктуаций относительно этого состояния имеем си
стему |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К = - у ; 2+ у;2 - |
2 sJr ^ t у; - |
у, ; + и (*). |
||||
|
|
|
0+2 y j |
R ^ T u ’ + f ^ t ) , |
|
(8.54) |
||
|
|
v ^ v ' ^ |
2 |
у ;+ |
/*(*)• |
|
||
При |
R |
й2 = —У У — |
|
ѵ\ |
будут описываться |
|||
|
1 вторые |
моменты |
флуктуаций |
|
||||
линеаризованной системой (8. 54), а средние значения величин определяются затем непосредственным усреднением (8. 54). Таким
образом, получаем, что при |
1 |
(8.55) |
<\ѵоѵіУ — К.ѵіѵіУ = |
<\иоѵіУ = |
|
(vf ) == За2, ( y f) = |
| о 2, (ѵ ?)= |
у . |
R
Как отмечалось выше, эти статистические характеристики соответствуют усреднению по времени или по ансамблю реализа ций сил f (t), приводящих систему в указанное состояние. Следует, однако, отметить, что если мы имеем некую реализацию /,- (t) и система пришла в одно из наиболее вероятных состояний, то
9* 131
Рис. 32. Численное решение системы (8. 45) для двух реализа ций случайных сил при і ? = 6, о2=0,01 . Система флуктуирует около устойчивых положений равновесия:
а |
) ^Ост == ^ > |
Ѵ1 |
^ |
_1,2 с т : = ®і |
б) |
у0 с т = ^> |
|
|
|
eTот 1 |
|
||||
|
|
У1 |
— — ^ R |
— 1 = — Ѵ'б, У2 с т = ° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
благодаря |
существованию |
|
достаточно |
больших |
'значений |
f. (і) |
||||||||
система через некоторое время |
Т |
(тем большее, |
чем меньше |
о2 и |
||||||||||
больше |
R) |
будет переброшена в |
другое наиболее вероятное |
со |
||||||||||
стояние (см., напримерf,{ (работуt |
Вентцеля и Фрейдлина (1970)). |
|||||||||||||
На рис. 34 приведено численное решение |
системы |
|
(8. 45) |
|||||||||||
для |
одной реализации |
) |
при i? = 6 , |
о2= 0 , |
1, |
где такой пере |
||||||||
брос |
осуществился. |
|
|
|
|
Рис. |
33. |
Плотности |
|
распре |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
делений вероятностей для ком |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
поненты |
ѵ± системы |
|
(8. |
45), |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
получаемые по одной реали |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
зации |
на |
отрезке |
времени, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
в течение |
которого |
система |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
флуктуирует около одного из |
||||||
|
|
|
ѴТП |
|
|
ui |
|
устойчивых положений равно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
весия |
|
|
|
132
Рис. 34. Численное решение системы (8. 45), иллюотрирующеѳ явление «переброса», R = 6, о2= 0 ,1 . Сплошной линией изобра жена у0, а пунктиром ѵ1
|
(і |
Таким образом, если имеется только единственная реализация |
|||||
f |
|
), |
то распределение вероятностей (усреднение по |
времени), |
|||
изображенное на рис. 31, будет формироваться только |
за время |
||||||
t ^ > T , |
иначе говоря, будет выполняться условие эргодичности. |
||||||
|
|
В заключение приведем рис. 35, на котором показано поведение |
|||||
при изменении |
R |
вторых моментов (нормированных на |
о2) флук |
||||
|
|||||||
туаций компонент решения системы (8. 45) относительно их ста ционарных значений.
Рис. 35. |
Зависимость |
от R |
нормированных на а2 |
вторых |
|
моментов |
флуктуаций |
компо |
нент динамической |
системы |
|
(8. 45) относительно |
их ста |
|
ционарных значений
133
Таким образом, мы видели, что при учете влияния случайных «шумов» на движение простейших систем гидродинамического типа возникает не только слабое статистическое «размазывание» устойчивых режимов, но и резкое усиление интенсивности флук туаций при переходе от одного режима к другому. Однако это усиление происходит не всегда, а только в случаях, когда случай ные «шумы» действуют на неустойчивые моды. Кроме того, под влиянием «шумов» появляется новый качественный эффект по сравнению с детерминистической задачей, а именно явление «переброса» между устойчивыми режимами. Осуществляемость подобных явлений переброса в реальных системах представляет большой геофизический интерес.
ПРИЛОЖЕНИЯ
П р и л о ж е н и е I
К О П РЕД ЕЛ ЕН И Ю СИСТЕМЫ ГИ ДРОДИ Н АМ И ЧЕСКО ГО ТИПА.
1. Обухов (1969) ввел определение класса систем гидродинами ческого типа (СГТ) как систем обыкновенных дифференциальных уравненений с квадратическими нелинейностями
X. = J'ijicXjX!c', |
і, /, / с= 1 , п, |
|
Е = х |
{/2 |
|
если для них выполняются условия сохранения энергии |
|
||||
и фазового объема (регулярность) |
дх(/дх(= 0 |
(см. гл. |
II). Эти свой |
||
ства приводят к соотношениям для коэффициентов |
системы |
|
|||
Г у * = Г №, , (а) |
|
|
( П І .1 ) |
||
r,7t + r i , i + r ,,., = |
0, (б) Г,.,7 = 0 (в). |
|
|
|
|
(Везде принято соглашение о суммировании по дважды повторяю щемуся индексу.) Приведенное определение исходит из чисто физических требований, и ценность его зависит от того, насколько богатым общими свойствами является определяемый класс си стем. Но в пользу такого определения говорит и некоторый чисто математический аргумент, о котором пойдет речь в настоящем приложении. Именно, будет выяснено следующее обстоятельство. Соотношения (П 1.1) являются линейными относительно коэф фициентов и носят тензорный характер и, следовательно, не ме няют своего вида ни в какой ортогональной системе координат. Тогда оказывается, что система соотношений (П 1.1) является мак симальной системой условий такого рода. Другими словами, усилить ограничения типа (II 1.1) нельзя.
2. Формулировку последнего утверждения можно уточнить, пользуясь терминологией теории представлений, знакомства с ко торой у читателя не предполагается (поскольку ниже приводится минимум необходимых сведений *).
Тензоры третьего ранга f .jk образуют линейное подпростран
ство, которое мы обозначим & . В качестве скалярного произведе ния в этом пространстве можно взять свертку тензоров (/, g) = =fijkSijk- Каждому ортогональному преобразованию п-мерного
*Желающие углубиться в теорию представлений классических групп мо гут прочитать книгу Вейля (1939).
135