Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

мым следствием двумерности течения жидкости, тогда как трех­ мерное течение идеальной жидкости, вообще говоря, сопровож­ дается лишь сохранением энергии.

Рассмотрим теперь в качестве простейшего примера систему всего лишь с двумя степенями свободы квадратично-нелинейного вида, обладающего квадратичным интегралом движения (энергия), заданным в виде

2Е = х* + х І

Уравнения движения такой системы в общем случае имеют вид

Х 1 — : а і к Х і Х )с

* 2 = b ilcX i X k

(по одинаковым индексам предполагается суммирование). Из тре­ бования сохранения «энергии» следует, что а11= Ь 22=0,2 а12-)-&11= 0 , я22-]-2£>12= 0 , и уравнения движения можно записать в следующем виде:

приведем уравнения движения (2. 6) к виду

dx

(2. 66)

du

Решение при соответствующем выборе начала отсчета времени

Как видно из рис. 6, построенная система является суще­ ственно апериодической. Координата х возрастает монотонно, а координата у совершает единичный всплеск, после чего затухает. Можно привести пример диссипативной системы, поведение ко­ торой описывается уравнениями (2. 66). Рассмотрим движение вязкого газа в теплоизолированном сосуде.

29

Вязкость газа представим в виде ѵ=Л0с, где л0 — средняя длина свободного пробега (постоянная величина), с — величина, про­ порциональная скорости звука.

Рассматривается простейшее движение в виде плоской попе­ речной волны с волновым числом к и амплитудой скорости и.

Рпс. 6. Движение квадратично-нелинейной системы с двумя степенями свободы

Полагая внутреннюю энергию пропорциональной с2, полную энер­ гию системы запишем в форме

Заметим, что физический смысл имеет только часть траекто­ рии, отвечающая положительной вязкости: ѵ=Х0с ^>0. Рассмотрен­ ная система имеет явно диссипативный характер: энергия «актив­ ной» компоненты постепенно уменьшается, переходя во внутрен­ нюю энергию, с чем связано увеличение вязкости.

§ 2. Понятие регулярности и определение систем гидродинамического типа

Важной характеристикой квадратично-нелинейной системы

где йк определяются из уравнений движения.

30

Именно с этим связан монотонный характер движения (см. рис. 6). Напомним, что в статистической^физике ограничиваются рас­ смотрением гамильтоновых систем, для которых дивергенция фазового потока всегда равна нулю. В дальнейшем динамические системы, сохраняющие в процессе движения фазовый объем, т. е такие системы, у которых 0 = 0 , будем называть регулярными. Как было только что показано, для квадратично-нелинейных систем с двумя степенями свободы существование квадратичного интеграла энергии несовместно с требованием регулярности. Примером регулярной системы является гироскоп, в чем нетрудно убедиться непосредственным вычислением, используя уравнения

Эйлера (1. 34), приведенные в предшествующей главе.

Введем теперь формальное определение систем гидродинамиче­ ского типа (СГТ). Этот класс регулярных систем выделяется сле­ дующими условиями:

(1)фазовым пространством СГТ является линейное векторное пространство п измерений (п — порядок системы);

(2)их уравнения движения квадратично-нелинейны;

(3)существует по крайней мере один (с точностью до постоян­ ного множителя) квадратичный положительно определенный ин­ теграл движения (энергия).

Обозначим компоненты вектора, характеризующего динамиче­ ское состояние СГТ, через и* (і= 1 , 2, . . ., п). В силу условия (2)

уравнения движения системы можно записать в следующей форме:

(по одинаковым индексам проводится суммирование). «Ко­ эффициенты взаимодействия» Г .j образует тензор третьего ранга

(динамический тензор), который естественно считать симметрич­ ным по нижним индексам

Упомянутую в определении энергию системы можно представить в виде

где g.k — положительно определенный тензор второго ранга.

Требование сохранения энергии dE /dt= 0 в силу уравнений дви­ жения (2. 12) налагает на динамический тензор следующее усло­ вие:

где r ijyft= ^ i.xr^.fc— динамический тензор с опущенным первым ин­ дексом. Тензор gik будет употребляться для опускания индексов. Взаимный тензор g,lc, определяемый как совокупность элементов

31

матрицы, обратной по отношению к матрице ||#№ удовлетворяет

В дальнейшем удобно иметь дело с таким представлением (будем называть его энергетическим) уравнений движения (2. 12), в ко­

и, следовательно, не имеет смысла различать верхние и иижние индексы тензорных величин.

Энергетическое представление уравнений движения отвечает выбору некоторой ортогональной системы координат фазового пространства. Переход от одного энергетического представления к другому осуществляется с помощью ортогонального преобразо­

ратной длины (волнового числа). Условие регулярности означает, что

дй}- = i W = = o .

ди*

Отсюда следует, что для регулярных систем ковариантный век­ тор

Системы гидродинамического типа естественно возникают при конечномерной аппроксимации уравнений гидродинамики невяз­ кой жидкости по методу Галеркина. На выполнение теоремы Лиувилля (условие регулярности) при аппроксимации уравнений гидродинамики рядами Фурье указал Ли (1952). Это условие по существу выделяет определенный класс динамических систем ин­ вариантным способом (независимо от конкретного выбора системы координат, поскольку условие формулируется в тензорной форме). Л . А . Дикий показал, что других дополнительных условий, фор­

*С основными понятиями тензорного анализа и их применениями в меха­ нике читатель может ознакомиться по книге Сокольникова (1951).

32

мулируемых инвариантным способом с помощью уравнений, линейных относительно компонент динамического тензора, просто не существует (см. приложение I). Вместе с тем свойство регуляр­ ности оказывается очень существенным при статистическом опи­ сании гидродинамических систем (Обухов, 1969).

§ 3. Эквивалентность триплета классическому гироскопу

Опираясь на общее определение систем гидродинамического типа, мы можем теперь сказать, что уравнения' движения Эйлера для гироскопа являются примером СГТ третьего, порядка. Такую систему будем называть триплетом. Гидродинамической интер­ претацией триплета является течение идеальной несжимаемой жидкости внутри трехосного эллипсоида с линейным распределе­

Это следует'уже из того факта, что нетривиальных СГТ при /г не существует, о чем говорилось выше. Можно воспользоваться также общей формулой для числа независимых компонент дина­ мического тензора СГТ. При этом опорную систему координат будем предполагать декартовой и уравнения движения СГТ будут заданы в энергетическом представлении.

Общее число компонент тензора Г ; .й, который симметричен по паре индексов, N 0= n 2 (/г+1)/2. Таково общее число коэффи­ циентов в любой квадратично нелинейной системе с п степенями свободы. Закон сохранения энергии (2. 15) эквивалентен тожде­

Условие регулярности дает дополнительно п связей. Считая упо­ мянутые условия независимыми (это обстоятельство можно про­ верить), получим следующее число независимых компонент ди­ намического тензора:

^ ^ ^ о_ ” (” .+ Ш .газ+ 2.)_ ге =

= £ (Зп* + 3/1 — /г2 — 3/1 — 2 — 6) = " ^ ~ 4)-. (2.19)

Легко видеть, что N принимает положительное целое значение, начиная с п = 3, которому соответствует N = 5 .

Таким образом, в общем случае уравнения движения триплета в некоторой ортогональной системе координат зависят от пяти параметров. Обозначив фазовые координаты через ѵѵ ѵ2 и ѵа, уравнения движения триплета можно представить в виде