Файл: Кильдишев, Г. С. Анализ временных рядов и прогнозирование.pdf

вследствие чего дл я построения

модели сезонной волны

можно применить гармонический

анализ .

Функцию, з а д а н н у ю в каждой точке изучаемого ин­

тервала времени, можно представить бесконечным

ря­

дом синусоидальных и косинусоидальных функций.

Н а ­

сами

называется

гармоническим

анализом .

Синусои­

д а л ь н а я или

косинусоидалы-іая

функция

с

определен­

ным

периодом

и есть гармоника.

К а ж д ы й

член

суммы

представляет

собой

гармонику с

определенным

перио­

дом. П е р в а я

гармоника

имеет

период, равный

длине

исследуемого

периода.

Вторая

.имеет период,

равный

половине основного,

третья — одной

трети

основного и

т. д. Вообще если есть р

наблюдений, то число

гармоник

2л

2л

2 я

2л

1

Р

Л-

'Р.

Р

-

г/ = а 0 + Л і

sin

2л t

+Вх

cos

2 я

/

2л

2я

(3.3.1)

+

Л г sin !V

2/ Н- ß 2 c o s

2t

+•

или короче

*

2

2л it

,+ Bi

cos

2 я it

(3.3.2)

y = a0

+ 2

Л І Б І П

Аі, Ві — коэффициенты гармоніпк.

Коэффициенты At и Ві оцениваются по методу

наи­

меньших

квадратов, т. е. при условии, что

S ( 0 « - й 2 — « n i n .

(3.3.3)

(=i

Получение

формул

для

коэффициентов

облегчается

благодаря

свойству

ортогональности.

р

2л

2л

= 0, если

ІФ]\

(3.3.4)

2

sin——(/sin — it

<=i

P

P

=

_ ,

если Î = ; # 0 # — ..

Подобные

ж е равенства

имеют место, если один член

или оба

заменены

косинусами. Д л я

оценки

параметров

йо, А і и Ві

уравнения

(3. 3. 2) используют

следующие

формулы:

а „ = —

S

у,

:

(3.3.5)

Аі=—Ъ

уі sin

I - 7 - l / J

'

(3.3.6)

9

p

/

2л

\

ß i = - " Z

у, cos

—

rtj

.:

(3.3.7)

Отсюда

видно, что o0 есть не что иное, как среднее

зна­

чение показателя за период.

Число гармоник,

к а к уж е

отмечалось, не

может

пре­

в ы ш а т ь

- у

, т. е.

-гр . Поэтому по этим

формулам

необходимо

рассчитывать

коэффициенты для

— 1)

гармоник.

Д л я последней

гармоники

всегда

А = 0,

В =

= ~r-2yt

c

o s

—— t; -тг] . Так

получается только в

том

P t=\

1

р

2

J

J

считывать î < -у-

гармоник,

то

соответственно

будет

получено

одинаковое количество

коэффициентов

при си­

нусах и косинусах.

Д л я

гармонического

анализа

товарооборота

плодо­

овощных

консервов

наиболее

удобным является

период

с 12 наблюдениями,

так как б р а т ь

свыше

12

наблюде ­

ний, т, е. более чем 3 года, не всегда

оправдано

тем, что

гармонический анализ

основывается на

исследовании

этом

не учитывается.

Использование среднего уровня за

3 года, конечно, д а с т

меньшие погрешности,

чем замена

тенденции средним уровнем з а более длительный

про­

межуток.

Гармонический

анализ

использовался

дл я

расчета

периодической функции дл я временного ряда

товарообо­

рота

плодоовощных

консервов. Д л я анализа

взят

пери­

од с 1964 по 1966 г. (он характеризуется

почти

постоян­

ным

уровнем) . Н а и б о л ь ш е е

количество гармоник,

кото­

рое

можно рассчитывать дл я этого ряда,

равно

6.

Сна­

функцию

с четырьмя гармониками,

т. е. получить функ­

цию вида

у=у+Аі

sin х+А2

sin 2 х + Л 3 sin Зх+

..- -

+ Л 4

sin Ax+B\

cos x + B2 cos 2x +

+ ß 3

c o s 3 x + ß , , cos 4л-,

(3.3.8)

Т а б л и ц а

3.3.1

МНОЖИТЕЛИ

ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 12 НАБЛЮДЕНИИ

ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ А- И В,

Ч

ч

ч

ч

ч

ч

V

и.

Ю

ч

ю

л

СО

сл

о»

m

СП

СП

1

ч

_с

С

а

с

to

сч

о

О

<г>

О

о

о

с

"Я

ІЛ

СЛ

сл

ио

и

и

t»

л

U

1

0,5

0,866

1

0,866

0,5

0,863

0,5

0 - 0, 5

-0,866

2

0,863

0,866

0 —0,866 —0,866

0,5

-0,5

- 1

-0,5

0,5

3

1

0

—1 0

1

0

—1 0 1 0

— 1

4

0,866 —0,865

0

0,866 —0,866 —0,5

- 0,5

1- 0,5 —0,5

5

0,5

—0,866

1—0,836

0,5

—0,866

0,5

0 - 0, 5

0,866 —1

6

0

0

0

0

0

—11

1

—1

1

—1

7

—0,5

0,863—1

0,866 —0,5

—0,86)

0,5

0 —0,5

0,866 —1

8

—0,866

0,866

0 -0,863

0,865 - 0,5

—0,5

1 - 0,5 —0,5

9 —1

0

1 0

—1

0

—1 0 1 . 0

—1

10

—0,866 —0,866

0

0,866

0,866

0,5

—0,5 —1 -0,5

0,5

11

—0,5

—0,866 —1 —0,866 —0,5

0,866

0,5

0 -0,5 —0,866 —1

12

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

ДАННЫЕ

ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ

Л, II В, В МОДЕЛИ

СЕЗОННОЙ ВОЛНЫ

Уровни

t

-V

sin X

COS X

времен­

y^slnv

y;COSAT

ного ряда

L + 0,029 sin 4x+0,769 cos x+0,417 cos

2x~j

.-0,433 cos 3x+0,354

cos 4x.

,(3.3.9)

В табл . 3, 3. 3 даются расчетные

значения по функци­

ям (3.3.9) и (3.3.10) и отклонения

от фактических

дан­

ных по к в а р т а л а м .

Средняя о ш и б к а аппроксимации дл я

модели

(3.3.9)

составляет 2,0. Теперь определим,

к а к а я часть общей дис­

учитываемая одной

гармоникой, определяется

по формуле

0 2 =

С2

где Сі

=

ІА2і

+ В2і.

£_ ,

Д л я последней

гармоники

а2РІ2

= С2і.

Ч а с т ь

дисперсии,

учитываемая определенной

гармоникой,

представляется

в виде

отношения величины

С2іі2

или С2і

к общей дисперсии о2ѵ.

Так. как никакие две

гармоники

не коррелируют м е ж д у собой, то они не

будут

учитывать

одну и ту ж е часть общей дисперсии, т. е. дис­

персии, учитываемые

различными

гармониками,

скла ­

дываются . Д о л я

общей дисперсии,

учитываемая

гармо­

никами, составляет:

' в процентах

первой

5,2

второй

1,8

третьей

*!

44,5

четвертой

0,7

О б щ а я

доля,

учитываемая всеми гармониками, 52,2%.

Таким

образом,

периодическая

функция,

состоящая

из четырех гармоник, довольно точно улавливает

коле­

бания временного

ряда . Н а и б о л ь ш а я часть

колеблемо ­

+ 0,029 sin 4л: - 0,335 sin 5x+0,769 cos x + 0,417cos

2x-

-0,433 cos 3x+0,354 cos 4x+0,364 cos bx+)

. + 1,004 cos 6x.

(3.3.10)

4. Заказ 3199

49