Файл: Кильдишев, Г. С. Анализ временных рядов и прогнозирование.pdf

р я д Тейлораг з

+ -+-^-yîP\

(4.1.2)

где yV'h — к-я

.производная, взятая в момент

t.

Согласно

теореме,

доказанной

Брауном ,и

Майером

[41], л ю б а я к-я

производная

(к = 0,

1, 2,

... ,р)

уравне­

ния

(4. 1. 2)

может

быть

в ы р а ж е н а

через

линейные ком­

бинации

экспоненциальных

средних

до

( р + 1 ) - г о

поряд­

ка. Основной

целью

экспоненциального

сглаживания

при

этом является

вычисление

рекуррентных

-поправок

оценок коэффициентов уравнения вида (4.1.1).

Введем определение

экспоненциальной

средней.

Э к с п о н е н ц и а л ь н о й

с р е д н е й

первого

порядка

для

ряда ijt

назовем

S,"1

(у)=а

2 ( 1 - а )

(4-1-3)

где

а — п а р а м е т р ' с г л а ж и в а н и я

( 0 < а < 1 ) .

Назовем далее выражение

Щ

п

[fe-i]

St

(у)=а

2

( h a ) ' S M

(у)

(4.1.4)

і = 0

для ряда у%.

экспоненциальной средней к-го порядка

Брауном

выведена

следующая

рекуррентная

форму­

ла

для

определения

экспоненциальной

среднейі

[Л]

lh-i]

m

St

(y)=aSt

(y)

+

(\-a)St-i(y).

Н о в а я экспоненциальная средняя равна

предыдущей

плюс д о л я (а)

от разности

м е ж д у

новыми

наблюдения ­

ми ,и предыдущими

сглаженными

значениями

уровней.

М о ж н о показать,

как

вычисляется

экспоненциальная

средняя для момента времени t из ранее

сглаженных ве­

личин. Возьмем, например, экспоненциальную

среднюю

первого

порядка

St [О (y)=ayt+(l-a)Sl-i{y).

m

(4.1.6)

Тогда

»l

tu

St

(У ) = ayt +

( 1 -

а) [ауі-і

+

( 1 -

а) S,_2 (у)

]

=

=

ayt

+ а ( 1 -

а) iji-i

+ ( 1 - а ) 2

[aijt-г

+ ( 1 - а ) 5(_з ( у ) ] = а у ( + а ( 1 - а ) г / і _ і + ;

+ а ( 1 - а ) 2 г / ( _ 2 + - - + а ( 1 - а ) ' г / ( - г + . - - - . - Ь

+ ( 1 - а ) ' / / 0 =

а

Б Х 1 - а ) ' у ( _ ; - 1 - ( 1 - а ) (

г / о ' .

(4.1.7)

і—и

Функция

(4.

1.

5)

является

линейной

комбинацией

всех прошлых наблюдений . Веса, придаваемые

предше­

ствующим

уровням,

убывают

в

геометрической

прогрес­

сии. Например,

если

параметр

с г л а ж и в а н и я

а = 0 , 3 ,

то

уровень

д л я

момента

времени

t

будет иметь

вес

0,3. Ве­

са д л я предыдущих наблюдений

соответственно

равны

0,21; 0,147; 0,1029 и т. д.

Исходя

из

рекуррентной

формулы

(4. 1. 5)

все

произ­

водные

в

разложении

(4. 1. 2)

могут быть

получены

по

уравнениям:

Hl

Hl

{у)

=ауі-(1

- a )

(у);

-S;

S(_!

[2]

[1]

[2]

S,

(y)=aSt

Ü/) +

( l - a ) S « - i ( 0 ) ;

m

ih-i]

M

St

(y)=aSt

( « / ) . + ( l - o J S , - ! ^ ) ;

(4.1.8)

[n]

[n-1]

In]

St

(y)=aSt

(y) +

{l-a)St-i(y)

где S\k]

(у)

— э к с п о н е н ц и а л ь н а я

средняя

к-го

порядка

в

точке t.

4.2. ВЫВОД Ф О Р М У Л ДЛЯ

ОЦ ЕН КИ

К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т О В М О Д Е Л И

Пусть, например,

л и н е й н а я

м о д е л ь

(4.1.1)

включает в себя только первые д в а члена

yt

= a0 + ait+Bt

(4.2.1)

Д л я

того

чтобы

выразить

коэффициенты

уравнения

с экспоненциальными

средними S[ 1 ) t(//)

и

SWt(y):

[I]

л

1—а

А

s

i

ІУ)=а0+—^-аі

;

(4.2.2)

•St

{у)=а0-\

— a i

•

л

л

Решив систему (4. 2. 2)

относительно

а 0 и аи

получим

Л

[lj

[2]

aa

= 2St

{у)-St

(у);

(4.2.3)

Л

а

Hl

12]

Прогноз д л я случая (4. 2. 1)

рассчитывается

по

формуле

*

Л

Л

І

Уі+i^ao

+ lü!

(4.2.4)

°Vt+i

&

E l l / - ^ 7 [ l + 4 ( l - a ) + 5 ( l - a ) 2 +

+ 2 а ( 4 - 3 а ) / +

2 а 2 / 2 ] ,

(4.2.5)

где

0 е , — средняя

квадратичеокая

ошибка,

вычисленная

д л я отклонений от линейного

тренда.

Д л я

квадратичной

модели

yt = aa

+ a:t+

у

a2*l+et

, ( 4 - 2 - 6 ) .

получаем следующую

систему

из трех

уравнений

с тре­

мя

неизвестными:

[1]

л

1 - а

л

( 1 - а ) ( 2 - а )

А

s t

(£/) =

<2o —

а

« і +

ТГг

а

2

'

2а 2

И

Л

2 ( І - а ) л

( і _ а ) ( з _ 2 а )

А

5 (

(</) =

a0—

а

аі +:

а 2

0.-1 ;

I31

л

3 ( 1 - а ) Л

,

3 ( 1 - а ) ( 4 - 3 а )

л

St

(У) =flo— — -

ß l +

fc?

û 2 '

( 4 - 2 J )

Откуда

Л

[1]

[2]

[']

ûo = 3[5t

Q / ) - S t

( i / ) ] + 5 t

(г/);

a

[î]

(y)-2(5-4a)St

pi

(у)+]

^ ^ - ^ 2 [ ( 6 - 5 а ) 5 £

,+

( 4 - З а ) 5 г

(у)]}

.

(4.2,8)

л

а2

[1]

[2]

[з]

а2-- - 7 T Z ^ [ S «

(y)-ÏSt

(y)+St

(у)]

ft

Прогноз для

модели (4. 2. 6)

осуществляется

по фор­

муле

г/;+ ;

= а 0

+ а і / + 4 ^ 2

'

( 4 - 2 - 9 )

ошибка прогноза определяется

следующим

образом:

сг„.+ | ^ о - Е ( " | / 2 а + З а 2

+ З а 3 / 2 .

(4.2.10)

Аналогичным способом могут быть получены оценки

остальных

коэффициентов

полинома

(4. 1. 2).

4.3. ВЫБОР НАЧАЛЬНЫХ

УСЛОВИЙ

И з формулы (4. 1. 5)

видно,

что для

проведе­

ния

процедуры

с г л а ж и в а н и я

необходимо з а д а т ь

началь ­

ную

величину

(условие) 1

S [А] ( у ) .

l^j

Обычно начальные условия задаются из

определен­

ных

экономических

соображений,

например

исходя из

величины

лага . П р и этом

д л я прогноза

рассматривается

не

весь временной ряд, а только часть

его. Такой подход

позволяет

значительно

сократить

объем

информации

д л я

прогнозирования, та к ка к ранние

значения

уровней

ряда, вследствие небольшой

величины

соответствующих

им весов, исключаются из

анализа .

В случае отсутствия

предварительных соображений,

работанными

Р . Б р а у н о м [40]. В

частности, дл я линейной

модели (4. 2.

1) .начальные

условия

определяются ка к

[И

1 - а

S0 (у) = а 0

—

а\

;

И

(у)=а0

2 ( 1 - а )

a

i ,

So

—

a

а д л я квадратичной

модели

(4.

2.(|)

ID ,

ч

l - a

,

( l - a H 2 - a )

а2:

So

(у)=а0

—

a i + '

^

;

2а

И

2 ( 1 - а )

( 1 - а ) ( 3 - 2 а )

So

(У) =ао

^ с , + .

^

а 2

;

(4.3.2)

И

3 ( 1 - а ) .

3 ( 1 - о ) ( 4 - З а )

5о

( # ) = а 0

— а і Н -

ж

ß 2 i

Ш

121

[31

где

S0

(у),

So

(у)

и

S0

(у) — начальные

условия.

Д л я

выражения

значений

коэффициентов

Й 0

и Й | в

фор­

муле (4.3.1) и а0, ai и

а2

в

формуле

(4,3.2)

Б р а у н

ре­

комендовал

брать

коэффициенты

уравнения

тренда

(4.2.1), полученные

методом

наименьших квадратов

[40] .

4.4. ВЫБОР

О П ТИМАЛЬ Н ОГ О

ПАРАМЕТРА

СГЛАЖИВАНИЯ a

П р и построении

прогнозов

с

помощью метода

экспоненциального

сглаживания одной

из

основных

проблем

является выбор

оптимального значения

параметр

ном влияния л и ш ь последних

наблюдений;

если близка

к нулю, то веса, по которым

взвешиваются

уровни вре­

даемого

момента, равен

a

( i l — а ) к . Если

есть

уверен^

ность,

что

начальные

условия

достоверны,

то

следует

использовать

небольшую

величину

параметра

с г л а ж и ­

вания

( а ~ 0 ) .

Когда

параметр

сглаживания

м а л , то

функция

St(y)

ведет

себя

как

средняя

из

большо­

ренности в прогнозировании начальных условий^ то

тог­

да следует использовать большую величину а . '^то

при­