Файл: Мясников, В. А. Программное управление оборудованием.pdf

Если исполнительными системами являются следящие системы, то Дхх являются сигналами ошибок на их входах. В этом параграфе будем предполагать, что ошибки воспроизведения вызываются лишь факторами, действующими внутри контуров, охватываемых обратными связями следящих систем, и будем считать эти системы устойчивыми при воспроизведении класса функций, определяемого принятой структурой программирующего устройства (ПУ).

В случае двумерной системы, когда требуется воспроизвести кривую F (х, у) = 0 на плоскости ху, требование воспроизведе­

ния этой кривой с заданной точностью означает, что она нигде ие должна отклоняться от требуемой иа величину, большую /г, т. е. должна располагаться внутри полосы шириной 2Н, причем

ее осевой линией является воспроиз­

рующим устройством, располагается на поверхности цилиндра 1.

Воспроизводимая траектория х_(/)> г/_(0 должна располагаться между цилиндрами 2 и 3, которые являются эквидистантными по­ верхностями по отношению к цилиндру 1 и отстоят от него на рас­ стоянии /г. Таким образом, х+ (t), у+ (/) и х_ (t), у_ (t) могут

быть любыми функциями времени, лишь бы проекция воспроизво­ димой траектории на плоскость XY не выходила за пределы полосы шириной 2h.

Для трехмерной системы, если требуется воспроизвести линию

осью которой является требуемая кривая. Очевидно, что эта трубка помещается, с одной стороны, между поверхностями, эк­ видистантными поверхности F± (х, у, z) — 0 и отстоящими от нее

на расстояние /г, и, с другой стороны, — между поверхностями, эквидистантными поверхности F2 (х, у, z) = 0 и отстоящими от нее на расстояние h. Далее будем называть эту трубку трубкой

динамической точности, которая для двумерной системы выро­ ждается в полосу динамической точности. Аналогичным образом может быть рассмотрен вопрос о точности и для систем с большим числом измерений.

254

Рассмотрим вопрос о быстродействии исследуемых систем при непременном выполнении требования о воспроизведении с за­ данной точностью. Так как ошибки воспроизведения возрастают с ростом скорости изменения управляющих сигналов во времени, то для того, чтобы обеспечить воспроизведение заданной кривой за минимум времени с заданной точностью, эта кривая при про­ чих равных условиях должна большую часть времени распола­ гаться на поверхности трубки динамической точности, а не внутри нее, так как у линейных следящих систем скорость изменения выходной координаты тем больше, чем больше сигнал-ошибка на входе системы.

Аналитическая запись этого требования очень сложна. На­ пример, для двумерной системы она равносильна требованию, чтобы координаты отрабатываемой траектории х, у в процессе

которые являются эквидистантами этой кривой. Очевидно, что при выполнении этого требования сигналы-ошибки на входах следящих систем Ах1могут быть такими по величине, что в случае

цифровых следящих систем реверсивные счетчики будут перепол­ нены, а в случае непрерывных следящих систем эти системы будут работать в зоне насыщения. В обоих случаях будет иметь место потеря входной информации, что недопустимо. Отметим, что в первом случае имеется в виду работа в унитарном коде.

Найдем геометрическое место концов вектора ошибки воспроиз­ ведения с учетом ограниченной емкости реверсивных счетчиков следящих систем. Пусть емкости реверсивных счетчиков имеют величину Лд';доп. Для отработки заданной траектории за минимум времени концы вектора ошибки должны располагаться на поверх­ ности трубки динамической точности, которую на небольшом участке, определяемом величиной Лхгдоп, можно считать цилин­ дром. Но вследствие ограниченной емкости реверсивных счетчи­ ков вектор ошибки не может слишком далеко удаляться от изо­ бражающей точки программирующего устройства по поверхности этого цилиндра, т. е. в данном случае цилиндр динамической точ­ ности имеет дно. Так определяется геометрическое место концов вектора ошибки при воспроизведении с максимальным быстро­ действием, которое для наглядности может быть названо стака­ ном динамической точности. Стакан перемещается за изображаю­ щей точкой программирующего устройства внутри трубки дина­ мической точности.

Отметим, что глубина этого стакана изменяется с изменением

одинаковы для всех координат, то стакан динамической точности имеет наименьшую глубину тогда, когда вектор касательной про­ граммируемой кривой параллелен какой-либо из координатных осей, при этом стакан имеет плоское дно. Наибольшую глубину

255

стакан будет иметь тогда, когда вектор касательной программи­ руемой кривой направлен под углом 45° ко всем п координатным

осям (рассматривается случай работы системы в прямоугольной системе координат), при этом дно стакана будет иметь п граней.

Сформулируем аналитически требования к голономиой системе, выполнение которых обеспечит нахождение вектора ошибки на поверхности стакана динамической точности.

Для двумерной системы (рис. 134) эти требования можно сфор­ мулировать в виде следующих соотношений.

Во-первых,

где

а = arctg ^ ;

Р = aretg

Для рис. 134 A.v = CD; Ау = AD. Соотношение (VI.21)

должно выполняться, если

Ах Дхдоп, Ау АуАт.

Эти неравенства означают, что проекция вектора ошибки на нор­ маль к отрабатываемой кривой (отрезок АВ) должна быть равна

половине ширины полосы динамической точности и соответствует нахождению конца вектора ошибки на поверхности цилиндра ди­ намической точности, который в данном случае вырождается в две параллельные прямые.

Во-вторых, если

Ах > Дхдоп; А у > А у Л0П,

то для предотвращения переполнения реверсивных счетчиков сле­ дящих систем должно быть:

На рис. 135 изображены стаканы динамической точности при различной ориентации вектора касательной, где 1 — стакан ди­ намической точности; 2 — вектор ошибки; 3 — изображающая

точка ПУ.

Для трехмерной системы проекция вектора ошибки на нормаль­ ную плоскость отрабатываемой кривой в точке, соответствующей положению изображающей точки ПУ, должна быть равна ра­ диусу трубки динамической точности и аналитически запишется как

где А = У Ах2 + Ауг + Az1 — модуль вектора ошибки.

256

В заключение отметим, что силы, действующие на следящие системы, могут как противодействовать их стремлению к отработке управляющих воздействий, так и действовать согласно этим стремлениям. В первом случае изображающая точка отработки, являющаяся концом вектора ошибки, будет отставать от изобра­ жающей точки программирующего устройства. Во втором случае

Лгеометрическим местом концов вектора ошибки должен быть

описанный выше стакан дина­ мической точности, который на­ зовем отстающим стаканом.

Для обеспечения максимального быстродействия при помехах, действующих согласно с усилиями следящих систем, программи­ рующее устройство должно настолько повысить темп выработки управляющих сигналов, чтобы перевести изображающую точку отработки из упреждающего стакана на поверхность отстающего стакана.

Ошибки следящих систем обусловлены в значительной степени инерционностью систем, а также нагрузками на них, величина которых пропорциональна скорости отработки. Если величина функции ошибок следящих систем превосходит допустимую и если cos ф < 0, то целесообразно уменьшить темп работы программи­ рующего устройства, а в том случае, если величина этой функции не достигает заданной, т. е. работа системы протекает в более медленном темпе, чем она могла бы протекать, оставаясь в задан­ ных пределах по динамической точности, целесообразно увели­ чить величину аргумента. Таким образом, естественно управлять

253