Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

относительно параметров ш ко­ торая описывает движение жид­ кости в каждой из выделенных половин эллипсоида:

Вводя энергетические переменные

и3 — пг1и2,

где р, q n г удовлетворяют условию р -\-q + г = 0 и имеют следующие выражения:

Таким образом, мы вновь приходим к уравнениям Эйлера теории гироскопа, согласно которой вращение вокруг оси х будет не­ устойчивым, если

ворять неравенствам

Глава IV

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ЗАДАЧЕ О КОНВЕКЦИИ

§ 1. Общие замечания к построению малопараметрической модели конвекции

Нелинейные взаимодействия пграют первостепенную роль в фор­ мировании конвективных течений. Общий вывод эксперименталь­ ных и теоретических исследований конвекции жидкости, начало которым положено еще Бекаром (1901) и Рэлеем (1916), состоит в том, что с увеличением интенсивности внешних источников тепла конвективный процесс претерпевает на определенном этапе ка­ чественные изменения или, как в таких случаях говорят, происхо­ дит переход от одного режима конвекции к другому. Такое явление обычно объясняют так называемой бароклинной неустойчивостью первичного конвективного течения, которая возникает благодаря тому, что в жидкости создается избыток потенциальной энергии за счет внешнего нагревания. Под влиянием случайных возмуще­ ний потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энер­ гию отдельных мод движения, в том числе и тех из них, которые вначале оставались невозбужденными. В результате число мод, участвующих в формировании конвективного течения, возрастает и, кроме того, происходит перераспределение энергии между ними, что и приводит в конечном итоге к переходу конвекции в каче­ ственно новое состояние. В таких случаях число Рэлея — без­ размерный критерий, которым обычно характеризуют конвек­ цию, превосходит некоторое критическое значение & акв, завися­ щее от конкретных условий задачи.

Для геофизики особый интерес представляет термическая кон­ векция вращающейся жидкости, которой за последнее время уделяется большое внимание в связи с изучением механизмов, ответственных за формирование общей циркуляции земной атмо­ сферы. Трудности, возникающие при изучении столь сложной гидродинамической системы, как атмосфера, заставили специа­ листов обратиться к исследованию менее сложных, но родствен­ ных гидродинамических систем типа вращающихся кольцевых сосудов с жидкостью, главное преимущество которых состоит в том, что их сравнительно легко воспроизвести в лабораторных условиях. Это позволяет получить зависимость свойств движения

58

жидкости от ее физических и внешних параметров, строго контро­ лируемых в эксперименте.

Впервые лабораторные эксперименты по конвекции вращаю­ щихся жидкостей были выполнены Фульцем (1951) и Хайдом (1953), впоследствии неоднократно воспроизведенные и суще­ ственно дополненные исследованиями ряда других авторов, ле­ тальное обсуждение результатов которых можно найти, например, в обзоре Хайда (1970). Для нас важным является то общее, что при­ суще всем лабораторным экспериментам и что состоит в следующем. Сосуды имеют форму цилиндрических или кольцевых каналов; внешнее нагревание жидкости неоднородно по горизонтали, а вра­ щение ее осуществляется вокруг вертикальной оси симметрии. Поведение жидкости в таких сосудах определяется главным

РИС. 17. В ПЛОСКОСТИ (о^л, (Йо)

схематически изображена кри­ вая устойчивости осесиммет­ ричного течения (режим Гадлея) в кольцевых сосудах

При малых числах Тейлора в канале устанавливается осесим­ метричное течение, экспериментальная кривая устойчивости ко­ торого схематически изображена на рис. 17 в фазовой плоскости * (о7*«, а%о). В области, расположенной справа от кривой, устойчивым является один из трех видов несимметричных течений, объеди­ няемых под общим названием режимов Россби, подробное опи­ сание которых содержится в книгах Лоренца (1967) и Старра (1968).

Из рис. 17 видно, что фактор вращения при определенных условиях приводит к появлению качественно новых особенностей конвективного процесса, характерных исключительно для вращаю­ щихся жидкостей. Режимы Россби вообще не существуют при ма­ лых аГа <С оГвкр, когда влияние вращения практически еще не ска­ зывается. Осесимметричный решим, устанавливающийся при ма­

* По аналогии с пространством скоростей пространство безразмерных кри­ териев подобия мы также будем называть фазовым.

59

внешнее неоднородное нагревание становится достаточно интен­ сивным. В таких случаях говорят, что «нижний» осесимметричный режим переходит в «верхний», фазовая точка которого располо­ жена над критической кривой (см. рис. 17).

Теоретическое объяснение взаимного преобразования режимов Гадлея и Россби дано в работе Лоренца (1962), которая представ­ ляет замечательный пример аналитического исследования нелиней­ ной конвекции, выполненного с помощью малопараметрической математической модели. Надо сказать, что при изучении конвек­ тивных процессов, как правило, приходится прибегать к громозд­ кому численному интегрированию гидродинамических уравнений, тогда как аналитическими методами к настоящему времени уда­ лось получить только отдельные результаты, относящиеся преиму­ щественно к конвекции жидкости, подогреваемой снизу (см., на­ пример, Сорокин (1954), Горьков (1957), Малкус и Веропис (1958)

инекоторые другие работы, обсуждаемые в упомянутой книге Монина и Яглома). Однако для понимания механизма бароклинной неустойчивости имеют большое значение задачи, доступные теоретическому анализу, поскольку именно они дают представле­ ние о зависимости свойств движения жидкости от ее физических

ивнешних параметров. Уже работа Лоренца (1962) показывает, сколь полезными могут оказаться малопараметрические модели для изучения реальных процессов в жидкости. В гл. II были сформулированы определенные требования, которые должны’предъявляться к малопараметрпческпм моделям, претендующим на опи­

сание гидродинамических систем. Естественно попытаться на основе обобщения указанных требований на случай конвек­ ции применить общий подход, развитый в гл. II, к построению простейшей модели бароклинного течения, пригодной, в частности, для исследования конвекции, возникающей в условиях гори­ зонтально неоднородного разогрева и вращения.

Обобщение должно содержать требование существования до­ полнительных инвариантов, соответствующих сохранению энтро­ пии и потенциального вихря, которым сопровождается свободное течение бароклинной жидкости, и, кроме того, в интеграл энергии должны входить члены, ответственные за доступную потенциаль­ ную энергию.

Модель такого типа можно построить (см. Должанский (1973а, б)) с помощью рассмотренных выше уравнений Эйлера теории гироскопа, если учесть архимедовы силы и ввести уравне­ ние переноса тепла. Для достижения цели вновь удобно восполь­ зоваться гидродинамической интерпретацией уравнений триплета, подразумевая движение жидкости внутри эллипсоида с линейным полем скорости. В этом случае задачу удается свести к изучению квадратично-нелинейной динамической системы с шестью степе-

60