Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

В применении к данной гидродинамической системе безраз­ мерные параметры Ra и Рг естественно называть числами Рэлея и Прандтля соответственно. Следует, однако, подчеркнуть, что они определяются не молекулярными, а эффективными коэффициен­ тами вязкости и теплопроводности, которые, как уже указыва­ лось, могут учитывать влияние пограничного слоя, внутреннего

причем W2„ является единственным действительным корнем куби­ ческого уравнения:]

обычной регулярной конвекции с восходящими течениями в нагре­ тых областях и нисходящими течениями в холодных. Такой режим конвекции в применении к атмосфере и лабораторным экспериментам принято называть гадлеевским, по имени одного из первых исследователей общей циркуляции земной атмосферы.

неаризуем систему (4. 17), (4. 18) относительно такого состояния, пренебрегая членами второго порядка малости. Матрица о//, со­ ставленная из коэффициентов правой части линеаризованных уравнений, имеет вид

В силу специфики структуры матрицы (4. 21) соответствующий ей характеристический многочлен ||с// — а 1|| (1 — единичная

66

матрица) можно представить в виде произведения двух полиномов третьей степени от с

Примеияя для исследования корней многочленов (4. 22) извест­ ный критерий Льенара—Шипара (см., например, Гантмахер (1966)), получим следующее необходимое и достаточное условие устойчивости режима Гадлея:

т. е. в этом случае все корни указанных многочленов имеют отри­ цательную действительную часть. Полезно отметить, что действи­ тельные части корней первого многочлена (4. 22) отрицательны при любых значениях, входящих в него параметров, а (4. 23) есть условие положительности свободного члена второго куби­ ческого полинома (4. 22), которое, как нетрудно показать, влечет за собой выполнение остальных неравенств критерия [Льенара— Шипара.

Условие (4. 23) с помощью третьего равенства (4. 19) можно записать в явном виде

что следует из (4.24).

Таким образом, полученный критерий устойчивости указывает на весьма интересную особенность циркуляции вокруг средней

5* 67

осщ Потеря устойчивости такого течения при возрастании Ra наступает только при условии, если эффективный Рг < Рг0, причем максимально неустойчивым по отношению к режиму Н оказывается наиболее сплюснутый эллипсоид (х=3).

Задача о нахождении стационарных решений системы (4. 17), (4. 18), соответствующих другим не гадлеѳвским типам циркуля­ ции, сводится к вычислению корней алгебраических уравнений степени выше четвертой, и поэтому такие решения не представимы явными аналитическими выражениями. Однако для дальнейшего исследования в них нет необходимости, достаточно ограничиться асимптотическими разложениями.

Рис. 18. Критические кривые режима Н для различных зна­

чений параметра •/.

Полагая в (4. 17), (4. 18) левые части равными нулю, выразим сначала Ѳ,- через динамические параметры W (

Отсюда, в частности, видно, что во всех стационарных режимах конвекции при заданном способе внешнего разогрева устанавли­ вается устойчивая вертикальная стратификация. (Ѳ3 )> 0).

Подставляя (4. 26) в (4. 17), получим следующую систему уравнений для определения стационарных значений динамических параметров Wf :

Хотя 8 зависит от решения, введение его существенно облегчает анализ, цоскольку, как будет показано ниже, при больших

68

При других режимах конвекции все W ^ 0. Поэтому для того, чтобы однородная относительно W x и W 3 система, состоящая из первого и третьего уравнений (4. 27), имела ненулевые решеиия, необходимо потребовать равенства нулю ее определителя, вычис­ ление которого приводит к следующему квадратному уравнению:

из которого следует, что W2 не может быть положительным корнем уравнения (4. 29). Выбирая отрицательный корень, с помощью (4. 30), получим, что система (4. 27) имеет два дополнительных решения С и С , которыми совместно с I I исчерпываются все ста­ ционарные режимы конвекции в покоящемся эллипсоиде:

Из требования неотрицательности числителя дроби первого ра­ венства (4. 32) следует, что область существования режимов С и С' определяется неравенством

i f (ГаГ3 - Г3 Рг - Рг’~)3(8/Рг)*.> 1, (4. 33)

х 2

причем в случае равенства все три режима Н , С и С' совпадают. Сопоставляя (4. 33) с (4. 23) и третьим равенством (4. 28), легко видеть, что область неустойчивости режима Н полностью совпадает с областью математического существования режимов С и С . Таким образом, становится понятным, почему для жидкостей с Рг > Рг„ циркуляция вокруг средней оси не теряет устойчивости.

69