Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 76

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рпс. 8. Фазовые траектории жид­ кого гироскопа при 0 < R < 1

сил, а поэтому не дает полного описания движения гидродина­ мической системы.

При отрицательных внешних силах «замороженной» оказыва­ ется ѵг и, следовательно, исклю­ чению подлежит второе урав­ нение (3. 5). Таким образом, соблюдая указанные ограниче­ ния, фазовые кривые можно строить в фазовой плоскости (U, ѵх) либо (U, у2), в зависи­ мости от знака возбуждающей силы. Положим для определен­

ности / )> О,

у2= 0

и введем

безразмерные

переменные

U =

—р\]/1

и ѵ1= р у 1/Х.

Будем

те­

перь считать U и

ѵх

такими без­

размерными

переменными

и

перепишем два уравнения (3.5) в следующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ж

м и - і ) ,

 

(3.8)

где

 

 

 

 

 

 

 

dvi

 

 

 

 

т=Х£. Стационарные решения изображаются в фазовой пло­

скости (U,

Vj)

 

точками

с координатами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А)

U =

R ,

ѵх =

 

 

которые

 

 

 

 

B , B ' ) U =

1,

l\ = ±О\,

J R — 1,

(3,7а)

являются особыми

точками системы уравнений

(3. 8).

Заметим,

что

А

расположена на

вершине параболы U = i?

— yf,

а

В

и

В '

— на

 

пересечениях

ее с горизонтальной прямой

U = l .

 

 

 

Траектории, по которым фазовые точки устремляются к стацио­ нарному состоянию, схематически изображены на рис. 8 и 9 для различных областей изменения R . Точно воспроизвести фазовые кривые без численного интегрирования невозможно, поскольку общее решение системы (3. 8) не представимо в аналитическом виде. Поэтому для их построения удобно воспользоваться сле­ дующими соображениями (см. также Бюргере (1939)).

Наклон касательной в любой точке фазовой кривой, за исклю­ чением особых точек, определяется равенством

d U _

R — U — v?

(3.9)

dvy~~

V l ( U — l)

 

Отсюда видно, что в точках, где фазовая кривая пересекает пара­ болу U = R — v\ и горизонтальную прямую U = 1, касательная

44


Рпс. 9. Фазовые траектории жидкого

гироскопа при 1 < Л < 9/8 (а)

и Л >

9/8 (б)

имеет горизонтальное и вертикальпое направления соответственно. Кроме того, при ѵх ->-0 |dU/dvJi -*■ оо. В этом случае асимпто­ тическое поведение фазовой кривой легко получить, интегрируя (3. 9) и пренебрегая последним слагаемым числителя правой части. Тогда получим

 

 

 

К М 0)І =

U — R ( ! “ «)

exp

/ г т

r n

(3. 10)

где (

U

 

— Л

 

(U0— U),

 

0, i>J) — фиксированная

точка, достаточно удаленная от

особых

точек, причем yj

1. Согдасно

(3.

10) фазовая

кривая

при

 

->

0 асимптотически приближается к положительной полу­

 

 

оси ординат, пересечение с которой возможно только в особой точке (ось ординат сама является фазовой траекторией).

Наконец, поведение фазовых траекторий в окрестностях осо­

бых точек нетрудно

исследовать, линеаризируя

систему (3. 8)

относительно одного

из стационарных состояний

А , В

или

В '.

Поступая таким образом в отношении режима

А ,

получим, что

вблизи

него

при

В

< 1

 

 

 

 

 

(3.11)

 

 

 

[ / - й = ([ / * - і ? ) ( | 1 / М ,

 

 

 

где (£/*,

у*)

— фиксированная точка, причем |£/* — Д|,

|у*|

 

R .

Из (3. 11) следует, что точка

А

— узел, в котором все

фазовые

 

кривые, исключая ось ординат, имеют общую горизонтальную касательную (рис. 8).

45


Уравнения движения, линеаризованные относительно режима В , принимают вид

-2 > Щ = Л ѵ 'ѵ

^ = — i U', U ' = U — i , v'1 = v1 s/W— Y'. (3.12a)

Исключая v[, получим уравнение колебаний маятника с трением

+ 2 (R - 1) W = 0,

(3.126)

корни характеристического многочлена которого

к

1,

—1 + ѴЭ — 8Д

(3.13)

 

гѴдТГI

В интервале 1 < R ^ э/8 оба корня отрицательны, и мы вновь получаем узел, наклон общей касательной в котором задается равенством

 

 

d u

_

1 — Ѵэ —

 

 

 

 

(3.14)

Единственная кривая с наклоном düldi\ \в

1 +

ѵ^9 — 8R

 

а),

 

.делит

полуплоскость г;х> 0 на две области (см. рис. 9,

 

В

в одной из ко­

торых фазовые траектории приближаются к точке

 

справа, в дру­

гой — слева.

 

 

 

 

 

 

 

При

R

)> °/8 (рис. 9,

б)

согласно (3. 13)

корни оказываются

 

комплексно-сопряженными с отрицательной вещественной частью, т. е. в этом случае точка В является устойчивым фокусом (см., например, Арнольд (1971)).

Из рис. 8, 9 хорошо видно, как меняется характер вынужден­ ного движения триплета с увеличением величины внешнего воз­

буждения. Если при

R

<

1 все фазовые траектории устремляются

в точку

А ,

то при

R

)> 1

происходит бифуркация, фазовые тра­

 

 

 

ектории, напротив, отталкиваются от нее и притягиваются к точ­ кам В либо В ' в зависимости от знака начального значения ѵѵ Отсюда следует, что два тождественных триплета при одинаковых внешних воздействиях могут находится в различных динамически

равновесных состояниях.

А

 

 

 

В

 

В '

 

а

 

Интересно также отметить,

что точки

и

на рис. 9,

тополо­

гически эквивалентны точке

 

на рис. 8,

т. е. при переходе через

критическое значение

R

= 1 в характере стационирования не происхо­

дит качественных изменений, пока

R

<^9/8-

При 7?)>9/8 узлы в точ­

ках

В ж В 1

сменяются

фокусами,

в результате чего вместо моно­

 

тонного приближения к стационарному состоянию система совер­ шает нелинейные затухающие колебания.

Полученные до сих пор выводы о свойствах движения вязкой жидкости внутри эллипсоида основываются, как мы видели, на

46


нескольких упрощающих предположениях, справедливость кото­ рых можно доказать только экспериментально. G этой целью был выполнен лабораторный эксперимент, описанию которого посвя­ щен следующий параграф.

 

 

 

§ 3.

Лабораторный эксперимент

 

Основной результат теоретического анализа состоит в том, что

вынужденное жидкое

вращение вокруг

средней оси эллипсоида

при

В

> 1 становится неустойчивым

и

любое случайное возму­

В

щение

опрокинет систему

в новое

 

стационарное состояние:

Б

либо

 

1.

Как следует из (3.

7), при

Б

1 кинетическая энергия

 

 

 

 

движения сосредоточивается в тех составляющих движения, иа которые внешние силы не оказывают прямого воздействия. Реа­ лизация такого явления и была целью первого этапа экспери­ мента (Должанский (1972)).

В

Предварительно отметим,

что ось жидкого вращения в режимах

и

В 1

образует с плоскостью

(xlt х 3),

 

перпендикулярной вектору

момента внешних сил F = (0 ,

 

F ,

0), угол (тг/2 — ß), который, как

легко показать

с

помощью

 

(3.

3), (3. 4)

си-)

 

(3. 7), определяется

равенством

 

 

 

 

+

6? (q2 4-

4-

b*GrnT-

?>■«>

 

 

 

t g g — ß):

R

 

 

 

2аѢ*

 

 

 

 

 

 

 

 

— a2C2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1

 

1 указанная ось расположена почти

Отсюда следует, что при

 

 

перпендикулярно

( ß = тг/2)

 

к

направлению

момента внешних

сил.

Угол а, который образует проекция оси жидкого вращения

с большой осью

эллипсоида

хг,

зависит только от геометрии эл­

липсоида, что видно из следующегоf равенства:

 

 

 

 

4-

 

а = ■ - ^ =

 

 

4\

С

(

 

 

 

(3- іл»

 

 

 

 

 

 

 

Ы + * )

 

 

 

 

 

 

 

 

- sS'n w Т

 

 

 

 

16)

где положительные значения а отсчитываются в направлении против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной полуоси х3. Согласно (3. 15) при изменении знака внешних сил проекция оси жидкого вращения на плоскости (х1г х 3) поворачи­ вается на угол 2 а или 2а-]- к. Важно то обстоятельство, что при

Б1 векторы скорости течения в точках плоскости (хг, х2), до­

статочно удаленных от оси хг, образуют с последней угол — а, т. е. они почти параллельны оси жидкого вращения, которое устанавливается при изменений знака момента внешних сил. Это легко показать, если воспользоваться разложением поля скорости по параментам ш,-, введенным в гл. I.

Указанная особенность режимов В ж В 1 использовалась для их регистрации при лабораторном моделировании течения жидко­ сти внутри эллипсоида, которое было выполнено следующим об­ разом. Во вращающееся магнитное поле, создаваемое трехфазным

47


током, вводилась капсула из плексигласа, выутреыыяя полость которой имеет форму трехосного эллипсоида с главными полу­ осями а=30 мм, 6=24 мм и с=15 мм. Напряженность магнитного поля достигала максимальной величины при 2500 ампер-витках на каждую фазу.

Капсула с эллипсоидальной полостью и общий вид экспери­ ментальной установки изображены на рис. 10.

Для регистрации направления вращения жидкости внутрь полости на одинаковых расстояниях от центра эллипсоида были введены маленькие флюгеры с осями, расположенными в плоскости (хх, х2) параллельно оси вращения магнитного поля. Глубина погружения лопаток флюгеров составляла приблизительно чет­ вертую часть от максимальной. Выведенный наружу верхний конец оси флюгера был снабжен стрелкой, укрепленной парал­ лельно плоскости лопатки флюгера. Оси, стрелки и лопатки флюгеров были изготовлены из немагнитного материала.

Заметим, что параметры установки обеспечивают соблюдение условий гальванического приближения магнитной гидродинамики (см. Брагинский (1959)), при которых магнитные силовые линии не увлекаются жидкостью. Поэтому движение жидкости не могло оказать сколько-нибудь заметного влияния па величину крутиль­

ного момента пондеромоторных сил,

определяемых

напряжен­

ностью магнитного поля.

 

 

 

А

 

Слабая чувствительность флюгеров,

 

обусловленная трением

в опорах, не позволяла зарегистрировать режим

 

при закру­

чивании ртути вокрзгг средней оси

хг,

поскольку

потеря его

 

 

устойчивости из-за малой вязкости ртути наступает при очень малых значениях момента внешних сил /= Х 2/р. Поэтому, чтобы иметь возможность сравнить картины всех трех видов течений, закручивание ртути осуществлялось двумя способами: а) вокруг

короткой оси

х 3,

когда согласно теории режим

А

всегда устойчив,

и б) вокруг средней оси

х2,

причем оси флюгеров в каждом случае

 

располагались параллельно оси вращения магнитного поля. Для этого были изготовлены две капсулы с одинаковыми по размерам эллипсоидальными полостями, отличающиеся различной ориен­

тацией осей флюгеров.

движения

жидкости устанавливался

Стационарный

режим

в течение 5—12

сек

после

включении

магнитного поля, в зави­

 

симости от величины крутящего момента. Это регистрировалось с помощью стрелок, которые в конечном итоге принимали опре­ деленное положение. Ориентация стрелок в случаях «а» и «б» показана соответственно на рис. 11, а и б, причем картинка, приведенная справа, имеет место для всех |/| > 0,4 /тах(/гаах опре­ деляется возможностями установки).

Как видно из рисунков, картины движения в обоих случаях существенно различны. Если в первом случае вектор угловой скорости вращения жидкости совпадает по направлению с мо­ ментом внешних сил, то во втором случае вращение жидкости

48