Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

нями свободы, с помощью которой мы выделим важнейшие свойства конвективного процесса, кратко описанные выше.

Отметим, что в отличие от движения жидкости под действием магнитного поля, рассмотренного в предшествующей главе, кон­ вективное течение оказывает уже существенное влияние на ве­ личину и направление внешнего возбуждения, хотя в обоих слу­ чаях приложенные силы имеют вихревой характер. Такой эффект обратной связи учитывается в предлагаемой ниже модели.

§2. Модельные уравнения и интегралы движения

Вобщем виде физическая постановка задачи выглядит сле­ дующим образом. Вязкая несжимаемая жидкость, заключенная

внутри эллипсоида, уравнение поверхности которого

S (х) = (x./af + (x2/bf + (*з/с)2 = 1, ( ® > Ь > с ) ,

находится в условиях стационарного неоднородного внешнего нагрева. Эллипсоид вместе с источниками тепла приведен в со­ стояние равномерного вращения вокруг оси, проходящей через его центр инерции, параллельно вектору силы тяжести с угловой скоростью й 0, которая предполагается не слишком большой, чтобы влиянием центробежных сил по сравнению с силой тяжести можно было пренебречь.

Поведение такой системы, вообще говоря, описывается уравне­

и коэффициент объемного расширения жидкости соответственно,

вязкие силы, для которых rot i'=^0, е — приток тепла к единице массы жидкости за счет внешнего нагрева и теплопроводности, который в дальнейшем будем предполагать линейной функцией пространственных координат (хѵ х2, х 3), ср — удельная теплоем­ кость при постоянном давлении.

Движение реальной жидкости внутри эллипсоида, как было показано в гл. I l l , при определенных условиях хорошо описы-

61

Бается линейным полем скоростей. Поэтому, применяя метод, аналогичный тому, который был использован в гл. II при выводе динамических уравнений триплета из уравнений гидродинамики, решение системы (4. 1) и (4. 2) будем искать в классе функций, удовлетворяющих условиям

что эквивалентно сохранению только первых членов в разложе­ нии полей V и Г по опорным функциям (см. гл. I). В результате получим следующую упрощенную систему уравнений конвекции:

где компоненты вектора ш в системе координат с осями х ъ х„, х 3, совпадающими с главными осями эллипсоида, выражаются через

Составляющие векторов q и c^Q — соответственно разности температур и притоков тепла на главных полуосях эллипсоида, т. е.

I = (а cos -fr, b cos у«, c cos -у3),

где cos f . суть направляющие косинусы силы тяжести. Последним членом в правой части (4. 4) учитывается диссипация.

Рассмотрим некоторые особенности упрощенных уравнений конвекции. Умножая скалярно левые и правые части уравне­ ний (4. 4) и (4. 5) соответственно на w и ßgl и складывая, получим уравнение баланса полной энергии Е

62

Умножая затем (4. 4) на q, а (4. 5) на (М +2М 0) и вновь складывая, придем к так называемому уравнению трансформации потенциаль­ ного вихря (см. Обухов (1962))

являются аналогами хорошо известных гидродинамических инва­ риантов. Понятие потенциального вихря впервые было введено Эртелем (1942) и часто используется в метеорологии (см., напри­ мер, Монин (1970)).

Следует заметить также, что первое слагаемое в первом ра­ венстве (4. 10) соответствует кинетической энергии свободного жидкого вращения, а второе является мерой так называемой доступной потенциальной энергии (Лоренц (1955)), которая дости­ гает минимального отрицательного значения при устойчивой тем­ пературной стратификации, когда grad Т имеет направление, противоположное силе тяжести.

Кроме того, как непосредственно следует из уравнения (4. 5), согласно которому вектор q при Q = 0 вращается с угловой ско­ ростью а), рассматриваемая гидродинамическая система обладает еще одним интегралом движения q=|q|. В принятых нами прибли­ жениях он соответствует сохранению энтропии замкнутой системы. Используя это обстоятельство, полную энергию можно опреде­ лить как

Е ' = - i - M .w + g ß (Z ff+ l-q ); (4.10')

она уже не принимает отрицательных значений, а ее минимум равен нулю.

При е=0 система (4. 4), (4. 5) допускает стационарное решение,

новесия приводят в отсутствие вязкости к возникновению гармо­ нических колебаний с частотами Брента—Вяйсаля (см., напри­ мер, Эккарт (I960)), которые зависят от ориентации эллипсоида,

Таким образом, упрощенные уравнения конвекции, исследо­ ванием которых мы займемся в следующих параграфах, сохраняют

63

важнейшие свойства исходных гидродинамических уравнений. Введение дополнительных ограничений очевидно привело бы к иесохранению указанных свойств, а поэтому систему (4. 4), (4. 5), в которой учтено влияние архимедовых сил и процессов переноса тепла, можно рассматривать как простейшую модель бароклинного течения жидкости.

Заканчивая постановку задачи, заметим, что в рамках исполь­

(1. 26)) и проинтегрируем его правую и левую части вдоль не­

где Pf . — элементы симметричной матрицы, выражения для ко­ торых имеют вид

a S . и R . ( i= 2, 3) легко получаются из (4. 13) и (4. 14) круговой перестановкой индексов (12 3) и (ab с). Первое слагаемое в (4. 11) соответствует реакциям связи, второе имеет термодинамическое происхождение, а последнее обусловлено силами Кориолиса. Полезно отметить, что выражение (4. 11) строго выполняется лишь для невязкой жидкости. В противном случае его следует рассматривать как приближенное, поскольку из-за прилипания жидкости на стенках линейные поля скорости и температуры в вязкой жидкости не могут сформироваться. Одиако движение внутренних слоев жидкости, как было показано в гл. I l l , доста­ точно хорошо аппроксимируется такими полями.*§

§ 3. Стационарная конвекция в покоящемся эллипсоиде

Ограничимся на первом этапе исследованием конвекции в по­ коящемся эллипсоиде (ß0=0). Такая задача представляет само­ стоятельный интерес, и, кроме того, она поможет нам в дальней-

64

шем лучше разобраться во влиянии сил Кориолиса на формиро­ вание бароклинных течений. Поступление энергии от внешних источников тепла к жидкости проще всего учесть, задав е фор­ мулой Ньютона

Последняя предполагается заданной линейной функцией простран­ ственных координат, и, кроме того, у может учитывать как моле­ кулярный, так и радиационный механизм передачи тепла.

Как было показано в гл. I l l , неустойчивость циркуляции внутри полости при движении, характеризующемся линейным цолем скорости, можно наблюдать при условии, если закручи­ вание жидкости происходит вокруг средней оси эллипсоида. Поэтому дальнейшее рассмотрение проводится в предположении,

Тогда, принимая во внимание ориентацию эллипсоида по отно­ шению к силе тяжести и внешним источникам тепла, уравнения

указанные соотношения. Точкой обозначена операция дифферен­

ваемая в неподвижной среде внешними источниками тепла на боль­ шой полуоси эллипсоида.- ■