Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

Рис. 19. Векторная диаграмма: (а) течение жидкости, находящейся под действием неоднородного внешнего нагрева внутри эллипсоида; (б) жид­ кость приводится в движение механическиммоментомвнешних сил F (гл. Ill)

Используя (4. 31), (4. 32) и определение В, нетрудно показать,

что при Ra —> со о ~ Ra'k-|-<9 (1). Поэтому для Ra/RaKP > 1

В-1 является малым параметром, по которому можно разлагать решения С и С '. В этом случае согласно второму равенству (4. 32) <р(о) = 1 + 0(8-2); отсюда следует

(4. 31а)

Здесь мы не приводим выражений для Ѳѵ которые легко получить

из (4. 31а), вектор о» стремится занять перпендикулярное положе­

ние параллельно плоскости (д:2, х 3), так как И ^с ростом Ra не раз­ вивается. Причина такого поведения жидкости становится понят­

тепла.

70

Это означает, что в одинаковых условиях внешнего нагревания конвекция может находиться в одном из двух существенно раз­ личных состояний, которое устанавливается в зависимости от знака начального возмущения. Аналогичным свойством, как мы видели в гл. I l l , обладает двгокенпе электропроводящей жидкости внутри эллипсоида, возбуждаемое не нагревом, а вращающимся магнит­ ным полем. Существенное отличие, однако, состоит в том, что в случае нагрева явление опрокидывания сопровождается изме­

стационарных состояний течения жидкости, закручиваемой маг­ нитным полем вокруг средней оси х 2.

Перейдем теперь к исследованию конвекции во вращающемся эллипсоиде, течение жидкости в котором приобретает качественно новые черты.

§ 4. О влиянии сил Кориолиса на формирование конвективных течений

внутри вращающегося эллипсоида

Сохраняя ориентацию эллипсоида по отношению к силе тяжести и внешним источникам тепла, приведем его в состояние равномер­ ного вращения вокруг малой оси х 3 (Qo=(0,0, Q0)). В этом случае мы уже имеем дело с гидродинамической системой, родственной геофизическим в том смысле, что в ней присутствует два свойст­ венных им определяющих фактора: горизонтальный неоднород­ ный нагрев и вращение вокруг вертикальной оси. Для определен­ ности будем предполагать, что £20 О 0, т. е. вращение происходит против часовой стрелки, если смотреть с положительного напра­ вления оси х 3. Уравнения конвекции, соответствующие указан­ ной постановке задачи, можно представить в следующем безраз­ мерном виде:

71

до величины порядка единицы определяется как квадрат отно­ шения сил Кориолпса к силам трения (см., например, Лоренц (1967)). Совокупностью параметров Ra, Та обычно и характери­ зуют конвекцию вращающихся жидкостей.

Чтобы исследовать свойства стационарных режимов конвекции, приведем систему (4. 34), (4. 35) к виду, удобному для отыскания асимптотических решений, поскольку точные значения искомых величин являются корнями алгебраических уравнений степени выше четвертой (ср. § 3). Поскольку (4. 18) и (4. 35) совпадают,

Из первого и третьего стационарных уравнений (4. 34) и второго

а поэтому любой действительный корень уравнения (4. 36) отве­ чает некоторому стационарному режиму конвекции. Это наводит на мысль о возможности размножения стационарных решений уравнений конвекции, вызванного исключительно влиянием сил Кориолиса. Используя (4. 36) и (4. 37), попытаемся теперь иссле­ довать асимптотическое поведение стационарных решений системы уравнений (4. 34) и (4. 35) при движении в фазовой плоскости (Та, Ra) вдоль кривой Т а=/ (Ra), где / (Ra) монотонно возрастаю­

началу термодинамики выполняется для любого режима конвек­ ции. Параметр 8 при этом по крайней мере~не убывает. Рассмот­ рим один частный, но важный для нас случай фазовых траекторий R a = а Т а + о (Та), «=const )> 0. Принимая во внимание ука-

72

занные ограничения и сопоставляя главные члены уравнения (4. 36), приходим к выводу, что вдоль таких траекторий параметр 3=0 (Ra) для всех стационарных решений системы (4. 34), (4. 35), за исключением, быть может, случая, когда PF2 убывает быстрее, чем 3 возрастает. Но такого типа решений, как легко показать с помощью (4. 37) и третьего равенства (4- 34), вдоль рассматрй-

характеризуется одним из двух видов асимптотического пове­

По причинам, указанным ниже, стационарные режимы конвекции, соответствующие (4. 38) и (4. 39), будем обозначать буквами И и R .

Пользуясь аналогичными соображениями, можно также по­ казать, что вдоль других фазовых траекторий R a = a Та"-)-о (Та") характер асимптотики стационарных решений имеет вид

коящемся эллипсоиде, подробно исследованных в предшествующем параграфе, а влияние сил Кориолиса приводит к незначительной

73

(4. 42), все решения имеют одинаковый характер асимптотического поведения и отличаются коэффициентами при главных членах раз­ ложения, удовлетворяющими системе алгебраических уравнений, которая фактически не проще, чем исходная. Поэтому нам при­ дется прибегнуть к искусственному приему, смысл которого состоит

наклон которого зависит от решения, т. е. фиксированному зна­ чению а, вообще говоря, соответствует несколько значений Если бы нам удалось установить такую многозначную зависимость, можно было бы найти число стационарных решений.

Для этого положим в уравнении (4. 36) 8 известным параметром и будем искать асимптотику его возврастающих (по модулю) кор­ ней вдоль луча 8=^Та + О (1), используя 8 в качестве параметра разложения. Полученные таким способом выражения для W2 совместно с (4. 37) и третьим равенством (4. 34) используем для восстановления упомянутой зависимости с помощью определения

Составляя дискриминант и находя его нули, нетрудно показать,

74