Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

В случае х~ Х о Р Рг <С Рг0 уравнение (4. 41) имеет единственный действительный корень кратности три, т. е. луч §=^0Та + 0(1) есть отображение в плоскости (Та, §) границы области существования режимов С и С , которая в фазовой плоскости (Та, Ra) ведет себя как кубическая парабола R a = 0 (Та3). На рис. 20 дано схематиче­ ское изображение указанной границы, пересекающей ось ординат в точке со значением Ra„p, выражение для которого получено выше (см. § 3 (4. 24)). Из рис. 20, в частности, видно, что силы Кориолиса препятствуют переходу в состояние С или С', оказывая в этом смысле стабилизирующее влияние на конвективный процесс.

Дальнейшее исследование будем проводить в предположении, что Рг > Рг0, исключая тем самым режимы С и С' из рассмотре­ ния. Хотя в этом случае уравнение (4. 44) имеет единственный

На

Рис. 20. Граница области су­ ществования стационарных ре­ жимов С и С ' в плоскости

(Та, Ra)

действительный корень по причинам, обсуждавшимся выше, мы не можем еще утверждать, что при любом у ему отвечает решим П . С помощью (4. 37) и третьего равенства (4. 34) асимптотическое разложение для динамических переменных W1 и W3 можно пред­ ставить в виде

Тогда, пользуясь определением В, (4. 43), (4. 46), нетрудно найти зависимость от х параметра а— а (у), определяющего фазовую траекторию R a = аТа3 + О (Та3), которая вместе с решением, соответствующим корню е (у), отображается в луч 8=^Та + О (1). Зависимость а=<х(у), схематически изображенная на рис. 21, имеет вид:

График иа рис. 21 легко построить, принимая во внимание, что

а в(0)= Г^.

75

логов в покоящемся эллипсоиде, а поэтому их пояление вызвано исключительно влиянием сил Кориолиса.

Чтобы лучше разобраться в характерных особенностях конвек­ тивного процесса внутри области, ограниченной упомянутой

кубической параболой, перейдем к исследованию асимптотических решений системы (4. 34), (4. 35) вдоль лучей R a = ссТа + о (Та). Подставляя последовательно разложения (4. 38), (4. 39) в систему уравнений •(4. 34), (4. 35), левые части которых полагаются рав­ ными нулю, получим две простых системы алгебраических урав­ нений относительно коэффициентов при главных членах разло­ жения. Опуская несложные выкладки, сформулируем основной результат.

Асимптотическим поведением типа Н характеризуется един­ ственное стационарное решение

76

Остановимся на некоторых свойствах конвективных течений, задаваемых равенствами (4.48) и (4.49). Во-первых, из сопостав­ ления членов уравнений (4. 34) по порядку величины легко ви­ деть, что бароклинные силы с точностью до главных членов раз­ ложения уравновешиваются силами Кориолиса. Иначе говоря,

кривая ограничивает область существования режимов R1 п

R 2 сверху

Та

рассматриваемые решения приближенно удовлетворяют равенству 2M0X w = g ß lX q , которое по существу является хорошо известным уравнением геострофического ветра, записанным в приближении

естественной конвекции. В реальных гидродинамических систе­ мах, в частности в земиой атмосфере и вращающихся кольцевых сосудах с жидкостью, такое явление, действительно наблюдается и сопровождается так называемым эффектом «отрицательной вяз­ кости» (см. Старр (1968)). В связи с этим уместно отметить, что для воспроизведения обратной ячейки циркуляции с помощью осредненных уравнений гидродинамики приходится прибегать к иеобыч-

77

ной гипотезе замыкания, отражающей активную роль напряжений Рейнольдса в формировании среднего течения, которое компенси­ рует энергетические потери за счет энергии пульсаций (см. Виль­ ямс и Дэвис (1965); Должанский (1969, 1971)).

Не вдаваясь в детали исследования асимптотик стационарных

ранной классификации конвективных течений. В том, что режиму Гадлея действительно соответствуют найденные выше решения, проще всего убедиться, осуществляя предельный переход при •/. —►

кривой, пунктиром изображена верхняя граница области сущест­ вования режимов R .

Из-за отсутствия точных стационарных решений системы (4. 34), (4. 35) исследование на устойчивость найденных режимов конвекции представляет весьма трудоемкую задачу и требует выполнения большого объема вычислений. Без значительных зат­ рат удается получить лишь необходимые условия устойчивости

пренебрегая членами второго порядка малости. Согласно крите­ рию Льенара—Шипара требование полояштельпости коэффициен­ тов характеристического многочлена линеаризованных уравне­ ний, выражение для которого мы опускаем из-за его громоздкости, приводит к необходимому условию устойчивости а <С а0=(Рг/Г3),/з. Таким образом, как следует из второго равенства (4. 48), потен­ циально устойчивыми оказываются режимы Н с прямой ячейкой

*Точнее, речь идет о верхней границе области положительных значений W2

врежиме Н.

78