Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

циркуляции в селении (хъ ж3), а в области аномальных режимов I I физически реализуется конвективное течение негадлеевского типа. Вопрос о том, будет ли это режим R 1 или і?2 или даже нестационар­ ная конвекция, требует дополнительного исследования.

Результаты численного интегрирования системы (4. 34), (4. 35) показывают, что при определенных условиях оба режима R 1 и Ro, а также режим I I с прямой ячейкой циркуляции оказыва­ ются устойчивыми. Мы не будем останавливаться на этом подробно, поскольку выполненный выше теоретический анализ уже позво­ ляет сделать некоторые существенные выводы.

§5. Обсуждение результатов

Всвязи с проблемой описания конвективных течений с помо­

щью малопараметрических моделей результаты исследования

§§2—4 заслуживают некоторого дополнительного обсуждения. На примере простейшей модели бароклинного течения мыпросле­

дили за хорошо известным в гидродинамике, но недостаточно изу­ ченным явлением потери устойчивости первичного конвективного течения при достижении числом Рэлея некоторого критического значения и образования вторичных течений, какими являются здесь режимы С и С '. При этом после возникновения вторичных течений тождественные системы, находящиеся в одинаковых внеш­ них условиях, могут в дальнейшем пребывать в различных устой­ чивых состояниях.

Конвективный процесс, развивающийся внутри вращающегося эллипсоида в условиях горизонтально неоднородного разогрева, проявляет, как мы видели, характерные для типичных геофизи­ ческих систем свойства, в формировании которых при прочих рав­ ных условиях определяющая роль принадлежит силам Кориолиса. Силы Кориолиса не только искажают или модифицируют стацио­

с областью существования режимов Россби, наблюдаемых в лабо­ раторных экспериментах с кольцевыми сосудами. Чтобы иметь возможность сопоставить рис. 17 и 22, отобразим кривые, изобра­ женные на рис. 22 в фазовой плоскости (Та, Ra) в пространство па­ раметров (ІГа, Ro), где <іГй= Т а 2, Ro — число Россби, которое в при­ менении к данной гидродинамической системе можно определить как (ср. с выражением, приведенным на стр. 59)'

Тогда нижняя и верхняя ветви сплошной кривой, а также пунктир­ ная кривая на рис. 22 отобразятся на плоскости (оГа, Ro) соответ­

79

Гл ав а V

МОДЕЛИРОВАНИЕ КАСКАДНОГО ПРОЦЕССА ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ

СИСТЕМАМИ ТИПА ЦЕПОЧЕК

§ 1. Модель с простым зацеплением из подобных элементов

До сих пор в конкретных приложениях мы рассматривали дина­ мические системы с небольшим числом степеней свободы. Попыта­ емся теперь построить более сложные системы для моделирования каскадного процесса преобразования энергии в рамках общей схемы Ричардсона (1922), Колмогорова (1941), Ландау (1944).

Вообще говоря, уравнения гидродинамики, разложенные по любому набору ортогональных опорных функций, приводят к си­ стемам гидродинамического типа, являющимися суперпозицией простейших триплетов. При использовании стандартных разло­ жений, например рядов Фурье, характер «зацепления» отдельных триплетов оказывается достаточно сложным. Можно надеяться, однако, что для конкретных систем (с заданным способом возбуж­ дения) уравнения движения могут быть существенно упрощены, если выбрана некоторая «естественная» система опорных функций, и описание системы ограничивается только наиболее активными степенями свободы, причем некоторые малоэффективные взаимодей­ ствия не учитываются.

Опираясь на эти общие соображения, рассмотрим схему из по­ добных триплетов различного масштаба (геометрический параметр р.) с простым зацеплением, когда каждая устойчивая мода дан­ ного триплета жестко сцеплена с неустойчивой модой, принадле­ жащей триплету меньшего масштаба. Триплеты будем изображать графически треугольником. При этом стрелка указывает направ­ ление возбуждения при возникновении неустойчивости. Урав­ нения такой «многоярусной» системы, схематически представлен­ ной на рис. 24, имеют вид

і ? = л № - ^ ) - Ѵ о + /о;

1 . - ^ Г = — Р о ѵ оѵ и + P i ( y 2 i — * 4 ) — M u !

= / W i 2 + Pi К — vh) — V is ;

— K vi,2P; 1 < Ä < 2 ‘.

82

Первым индексом пронумерованы «ярусы», а вторым — компо­ ненты триплетов, расположенные на заданном ярусе. Внешняя сила /о действует только на основном уровне, через У обозначены диссипативные коэффициенты, которые возрастают с увеличением номера. Можно положить \ . = а2 ѵр{, где ѵ — кинематическая вяз­ кость среды, а — числовой множитель порядка единицы. Система построена так, что выполняется закон сохранения энергии (при /0= 0 , У = 0 ), а в общем случае имеет место уравнение баланса энергии

Картину возбуждения такой сложной системы можно предста­ вить следующим образом. Пусть к моменту включения внешней силы в системе имеются малые случайные возмущения. Для про­ стоты можно принять ѵік (0)= + е (знаки равновероятны). При включении внешней силы определенного знака и достаточной вели­ чины начинает возрастать ѵ0, причем возбуждается одна из компо­ нент первого уровня, а именно та, для которой четность индекса к совпадает со знаком ѵ0 (при ѵ0 )> 0 возбуждается у12). Развитие возмущений одновременно сопровождается ростом одного из квад­ ратичных членов на предшествующем уровне, который моделирует напряжение Рейнольдса. Знак «активной» компоненты ойределяется знаком начальной «затравки» и тем самым указывается на­ правление дальнейшего возбуждения, когда интенсивность воз­ мущения на данном уровне превзойдет некоторое значение — |уі|кр= Х і.+1/р<. При достаточной величине внешней силы этот про­ цесс последовательного возбуждения все более высоких уровней будет развиваться до тех пор, пока не возбудятся все уровни вплоть до некоторого номера п. Этот уровень определяется тем условием, что триплет более высокого яруса, опирающийся на данный уро­ вень, окажется уже устойчивым. Одна из таких возможных возбу­ жденных ветвей показана схематически на рис. 24; она изображена сплошной линией.

Если знак внешней силы также считать случайным, то общее число возбужденных ветвей составляет 2", и все они равновероятны. Рассмотрим одну такую типичную ветвь, причем изменим направ­ ление отсчета на некоторых уровнях так, чтобы все ѵ{ (второй ин­ декс не пишем, так как на каждом уровне имеется только одно

4 г = / W i — р А — \ ѵл. Хі > °>

6* 83

При знаменателе D , близком к единице, в значительной части спектра, включая большие частоты (но не доходя до границы спек­ тра), стационарное решение рассмотренной дискретной модели хорошо аппроксимируется решением соответствующего дифферен­ циального уравнения по переменной £=1п р/р0. Это уравнение в точности соответствует модели Коважного (1948). При небольшом числе ярусов со'ответствующее дискретной модели разностное уравнение приходится решать численно.

приведены на рис. 25 сплошной линией. На рисунке показана кривая, отвечающая непрерывной схеме Коважного. Заметная разница наблюдается только для трех высших уровней.

84