Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

Таким образом, динамическая модель нелинейных взаимодей­ ствий в потоке несжимаемой жидкости, построенная с помощью простейших цепочек триплетов, позволяет получить наглядную картину энергетических процессов в развитом турбулентном потоке.

/

Для стационарного режима эта модель приводит к законам распре­ деления энергии, достаточно хорошо изученным как теоретически, так и экспериментально.

Можно рассчитывать, что рассмотренная выше модель окажется полезной также при изучении нестационарных эффектов, таких, например, как перестройка спектра турбулентности при скачко­ образном изменении внешних условий или при модулированном ре­ жиме возбуждения. К сожалению ^экспериментально эти вопросы еще мало изучены.

§ 2. Модель с двойным зацеплением, допускающая два квадратичных интеграла движения

Известно, что плоский поток идеальной жидкости имеет, кроме интеграла энергии, еще и интеграл квадрата вихря. В ряде работ (см., например, Крейчнан (1967)) для двумерной турбулентности было показано, что, кроме колмогоровского закона, существует также закон, связанный с передачей квадрата вихря по спектру. В предыдущем параграфе рассматривалась система гидродинами­ ческого типа, допускающая в условиях самоподобия стационарное решение, аналогичное колмогоровскому закону, описывающему каскадный процесс передачи энергии в развитом турбулентном по­ токе. Эта система имеет простейший вид связи уравнений, друг сдруком: каждое уравнение связано с предыдущим и последующим.

Рассмотрим теперь систему с более сложным типом зацепле­ ния, когда каждое уравнение связано с двумя предыдущими и двумя последующими. При этом на основании уравнения несжима­ емости в фазовом пространстве

2

85

будем считать, что в уравнение для г-моды не входит соответ­ ствующая ей скорость. Тогда

на достаточно высокие моды, начиная с тг-й, действуют силы внут­ реннего трения, описываемые коэффициентами Хл; /0 и /х — внеш­ ние силы.

- В системе (5. 7) выписаны лишь такие нелинейные члены, ко­ торых достаточно для выполнения в отсутствие внешних сил и вязкости двух законов сохранения, выражаемых квадратичными интегралами:

*=4 2♦ *

(5-8)

где кі — волновое число (Ь . —і/к ■ — масштаб г-й моды). Инте­ гралы Е и Й являются аналогами интегралов энергии и квадрата вихря для двумерного движения.

Для того, чтобы d E ld t = 0 и dQ,ldt—0, необходимо выполнение следующих условий:

86

ных интеграла, существуют два стационарных режима. Первый соответствует колмогоровскому закону, связанному с передачей

87

Глава VI

СИСТЕМЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

И ЗАДАЧА О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ КОЛЕБАНИЙ

§ 1. Комплексное расширение систем гидродинамического тина

Для описания процессов нелинейного взаимодействия колебаний, в частности воли, интересно обобщение понятия СГТ на случай

причем существует квадратичный интеграл движения, представ­ ляемый некоторой положительно определенной эрмитовой формой

В силу существования квадратичного интеграла коэффициенты взаимодействия (в общем случае комплексные числа) удовлетво­ ряют известным соотношениям

r w * + r /rt< + r fciy = o.

Совершенно очевидно, что далеко не всякая система четного порядка допускает представление в комплексной форме. Это следует из простого подсчета числа параметров (коэффициентов взаимодействия) системы. Так, например, ге=6, 7тг=3, число вещественных параметров системы, допускающей комплексное представление, равно 16 (удвоенное число параметров общего триплета без требования регулярности), в то время как наиболь­

89

шее число независимых параметров СГТ шестого порядка (с уче­ том регулярности системы) оказывается равным 64, т. е. в 4 раза больше.

При рассмотрении комплексных систем естественно ограни­ читься унитарными преобразованиями, оставляющими неизмен­ ным вид фундаментальной формы (zgz), которая в нормальной системе координат выражается через сумму квадратов модулей комплексных координат.

Может оказаться, что при надлежащем выборе системы коорди­ нат коэффициенты взаимодействия будут выражаться веществен­ ными или чисто мнимыми числами. В этом случае естественно ограничиться подгруппой унитарных преобразований, при кото­ рых это свойство коэффициентов сохраняется. Получаемую при этом группу будем называть основной группой системы.

Если параметры системы в некотором представлении оказы­ ваются вещественными, то, задавая в начальный момент значе­ ния координат вещественными, мы будем получать в соответствии с уравнениями движения вещественное значение для любого момента времени. Таким образом, условие lm z,.=0 выделяет инвариантное подпространство размерности т, в котором мы получаем подсистему размерности т. По отношению к ней исход­ ную систему мы будем называть комплексным расширением.

После этих общих определений переходим к построению кон­ кретных примеров, пользуясь методом комплексного расширения систем, уже исследованных ранее.

Простейшая нетривиальная система S 2 всегда может быть за­ писана в форме

„_____ьг Т

Гdt --

(6. 3)

Эта система имеет интеграл

Е — И-*? + А-

Переходим теперь к ее комплексному расширению, полагая

zi = хі + г'?/і,

Z2 = X2 + ІУі-

Уравнения движения получаем, пользуясь общей формулой

(6. 1)

p - ^ — —kz2Z1,

где параметр к теперь, вообще говоря, уже комплексное число, параметр у считаем вещественным. Заметим, что введение пара­

90