Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

метра jx не нарушает общности рассмотрения, так как, делая замену переменных zJ^Xz^ z2= X 2z2 (X — вещественно), в новых переменных полупим ц' = Х2ц, и это значение может быть сделано равным любому заданному числу (кроме естественного значения единица может оказаться полезным значением fi= Ѵ 2, как это будет показано ниже).

Наряду с системой уравнений (6. 4) следует иметь в виду эквивалентную систему, получаемую операцией комплексного

Легко убедиться, что £'=(fxz1^1+ z 2z2)’является интегралом движе­ ния — фундаментальной формой.

Рассмотрим замену переменных

ность таких преобразований, при которых фазы удовлетворяют

вид уравнений, мы будем называть группой автоморфизмов сис­ темы. В данном случае эта группа содержит один параметр — фазовый угол для одной из компонент

02 = О, 01== - А .

В отличие от вещественного случая комплексная система допускает еще один — кубический интеграл движения.

Умножим первое уравнение на 2zjZ2, а второе — на pzf и сложим. Тогда получим вещественную величину

Pgj(*!**) = —;212? I •12 ! I + V I z i I*

Таким образом

91

является интегралом движения, который в развернутой форме имеет вид

Уравнения движения (6. 4) также запишем в развернутой форме

(6.9)

d'Ji _

dt — %С\Уі-

Полученная система четвертого порядка оказывается регуляр­ ной, так как

Более того, при соответствующем выборе параметра р (р=1/г) соответствующие уравнения движения можно записать в форме Гамильтона. Чтобы убедиться в этом, вычислим производные от кубической формы Н

Легко видеть, что уравнения движения принимают гамильтонову форму, если положить

в новых переменных H имеет вид: Н = р 2 (р2—q\) ~{-2p1q2q1. Таким образом, подстановка z1 = p 1 -\-iq1, z2 = q 2 -\-ip2 приводит нас к си­ стеме, в которой функция Н является функцией Гамильтона.

Иногда бывает удобным рассматривать в качестве основной переменной сопряженное значение второй координаты — w = z %.

Каноническая форма уравнений движения имеет вид

Дифференцируя второе уравнение, получаем для w уравнение второго порядка с переменным, но вещественным коэффициентом

92

cPw/dt*-\-4\dw/dt\w—Q. Решив это уравнение при заданных на­ чальных условиях w\t=Q=w0, (dwldt)\i^—zl, находим, что

z = +\Jdw/dt-

Квадратичный интеграл, выраженный через функцию w, имеет вид

Наличие двух интегралов движения позволяет получить реше­

Второе уравнение (6. 12) непосредственно интегрируется и при­ водит к интегралу /f=const. Пользуясь этим интегралом, по­

E=f'+T,YH'+ K £ f

действительно является интегралом уравнения (6. 13). Рассмотрим частный случай Н = 0, тогда

S = 0 , О= 0о = const.

Не нарушая общности, благодаря возможности фазовых преоб­ разований, будем считать Ѳ0= 0 . Таким образом, система ока­ зывается вещественной, а для этого случая мы уже имеем общее решение

* Эти квадратуры выражаются через эллиптические интегралы.

93

Полупериод обмена энергией между компонентами выражается

94

После того как определено р (t) обращением интеграла

S'j-'-jtA)

изменение фазы находится дополнительной квадратурой

J Р"

О

При уменьшении h период системы возрастает, и при Л—>0 оно переходит в апериодический режим, рассмотренный выше.

Рис. 26. Графическое реше­ ние уравнения (6. 16) (г* как функция h)

Описанная модель может быть применена к задаче о колеба­ ниях двух параметрически связанных вибраторах, рассмотренной в работах Цельмана (1970, 1971).

Рассмотрим теперь комплексное расширение триплета. Пара­ метры его будем считать вещественными и равными по абсолют­ ной величине единице. Это всегда можно сделать, выполнив масш­ табное преобразование.

Проводя фазовое преобразование, можно добиться, чтобы в задан­

95