Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

нѳй» координаты при этом определяется инвариантным способом

вещественно. Пользуясь функцией H , можно записать уравнения движения в гамильтоновской форме. Для этого следует положить

Другие уравнения проверяются аналогично.

Исследование различных типов движения комплексного трип­ лета целесообразно проводить, рассматривая прежде всего спе­ циальные случаи, которые эквивалентны анализируемым ранее моделям.

1. Н = 0. Это означает, что ср=0, т. е. можно выбрать систему координат, в которой в некоторый момент времени все координаты zx, z2, z3 вещественны. Поскольку параметры системы также веще­ ственны, то мы приходим к классической задаче движения гиро­ скопа, решение которой можно найти в любом курсе механики (см., например, книгу Ландау и Лифшица (1958)). При фиксиро­

ется и превращается в период колебания обычного гироскопа при //->0.

Заметим, что энергии «крайних компонент» меняются синфазно и противофазно по отношению к энергии средней ком­ поненты z2.

96

Детальный анализ соответствующих колебаний имеется в статье Цельмана (1971).

Связь рассмотренной выше системы с задачей о колебаниях связанных осцилляторов становится очевидной, если рассмотреть

с дополнительными членами, описывающими нелинейные воз­

^ = m9w + q (ну).

Если при этом pr^>0, то возможен «распадный режим», когда колебание с наибольшей частотой ш2 в течение длительного времени (по отношению к периоду Т 2=2п/щ) отдает свою энергию колеба­ ниям с меньшими частотами.

Основная задача при исследовании конкретных колебательных процессов (включая волны) заключается в расчете параметров р, г, описывающих нелинейность системы.

Конкретные примеры рассмотренных процессов обмена энер­ гии при нелинейном резонансе ( ш2= -[- ш3), представляющих интерес для геофизики, можно найти в сборнике переводных статей «Нелинейная теория распространения волн» (см., напри­ мер, Филлипс (1967)), а также в статьях Бреховских (1966, 1968). Заметим, что уравнение триплетного взаимодействия, по-види- мому, раньше всего было использовано в задачах нелинейной оптики (Бломберген (1966)) (см. также обзор Кадомцева и Карп-

мана (1971)).

В заключение естественно рассмотреть вопрос, при каких условиях СГТ четвертого ‘ и соответственно шестого порядков можно редуцировать к системам второго и третьего порядка с комплексными координатами. Очевидно, что необходимым ус­ ловием является существование группы автоморфизмов, о кото­ рых говорилось выше. Можно показать, что эти условия явля­ ются и достаточными. Другими словами, если СГТ четвертого порядка допускает однопараметрическую группу ортогональных преобразований, оставляющих неизменными уравнения движения,

то ее всегда можно преобразовать к виду (6. 9) и, следовательно, записать в комплексной форме в виде системы второго порядка с комплексными координатами. Наличие такой группы обычно можно установить, исходя из условий физической задачи. Так, например, оно имеется в задаче о движении жидкости в кольце­ вом канале и в других задачах с аксиальной симметрией.

Аналогичные условия имеют место и для систем шестого по­ рядка, только здесь речь идет уже о более «богатой группе», со­ держащей уже два параметра.

В качестве конкретного примера применения вышеизложенной методики рассмотрим, следуя Лонге-Хиггипсу и Гиллу (1967), резонансное взаимодействие планетарных воли (воли Россби— Блиновой).

§ 2. Резонансное взаимодействие планетарных волн

«Планетарными волнами» или волнами Россби—Блиновой (см. работы Россби (1939), Блиновой (1943)) называются гиро­ скопические волны, вызывающие глобальные движения, проис­ ходящие в слое жидкости или газа, покрывающей вращающийся земной шар.

Пусть (х, у) — координаты в касательной плоскости сферы, причем X отсчитывается па восток, а у — на север. Основным динамическим уравнением, описывающим планетарные волны, является уравнение сохранения потенциального вихря

Уравнение (6. 24) является приближенным, а именно, в нем оставлены только наиболее важные нелинейные члены, которые определяют горизонтальную адвекцию вихря. Полный вывод динамического уравнения, выражающего сохранение потенциаль­ ного вихря, содержится, например, в работе Обухова (1962) и монографии Кочина, Кибеля, Розе (1963).

При рассмотрении решений уравнения (6. 24) удобно перейти к приближению ß-плоскости, в котором а и ß принимаются по­ стоянными. Тогда, выбирая единицы измерения длины и времени

98

Линеаризированное уравнение (6. 25) при этом имеет вид

при условии, что о удовлетворяет дисперсионному соотношению:

При этом компонента фазовой скорости в направлении с востока на запад определяется соотношением

кк - - |- / “ - f - 1

Так как выражение в правой части (6. 29) всегда отрицательно, то волны всегда распространяются на запад. Эти волны и называ­ ются волнами Россби—Блиновой.

Рассмотрим три свободные планетарные волны, определяе­ мые в первом приближении выражением

Для каждой волны удовлетворяется дисперсионное соотношение

(6. 28), т. е.

°п (^1 + + 1) + /сп = 0. (г а = 1) 2, 3). (6.31)

Ддя резонансного взаимодействия этих волн необходимо, чтобы,

волновом векторе, например к2=(/с2, Z2), подробный анализ вол­ новых векторов Iq, к3, при которых имеется резонансное взаимо­ действие, содержится в цитированной выше работе Лонге-Хиг- гинса и Гилла.

Рассмотрим теперь динамику взаимодействия этих волн. Рас­ крывая производную D/Dt в явном виде, можно записать урав­ нение (6. 25)

<в- аз)

Уравнение (6. 33) имеет ряд интегралов движения. Это, во-первых

! [т(ё) + т © = const (6.34) dxdlJ

7* 99