Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

Интеграл энергии. Первые два члена подынтегрального выраже­ ния представляют собой плотность кинетической энергии, а тре­ тий — плотность потенциальной энергии (в безразмерной форме). Кроме того, имеются интеграл уравнения (6. 33), выражающий закон сохранения потенциального вихря

где у-„=\кп\2=Щ-\-11, а через C x, C2, C 3 обозначены коэффициенты взаимодействия, так, например,

где z — единичный вектор, направленный но вертикали вверх. Для волновых векторов, удовлетворяющих условию резонанса

(6. 32),

100

Остальные члены в правой части в общем случае не соответствуют свободным волнам и поэтому не будут непосредственно участ­ вовать в резонансном переносе энергии. Уравнения (6. 40) можно получить также следующим путем. Умножая, например, (6. 38) на соз0х и усредняя по быстро меняющимся фазам, мы и прихо­ дим при условии (6. 32) для медленно меняющейся величины

к первому из уравнений системы (6. 40) и т. д. Система (6. 40) представляет собой гидродинамический триплет, рассмотренный в предыдущих главах. Система уравнений (6. 40) имеет два ин­

аналогичные (6. 34), (6. 35) и представляющие собой законы со­ хранения энергии и потенциального вихря.

Если обозначить через Дн изменение величины а2 в течение времени от момента £„ до момента t^>tQ, то с помощью интегралов (6. 41), (6. 42) получаем соотношения

жен знакам Дх и Д3, т. е. поток энергии в сторону двух крайних волновых чисел хх и х3 всегда имеет один и тот же знак, противо­ положный знаку потока энергии в сторону промежуточного

лись в предыдущих главах, и поэтому мы не будем останавли­ ваться на их решении.

Отметим, что аналогичным образом можно рассматривать резонансное взаимодействие волн Россби—Блиновой и на сфере. В этом случае разложение следует проводить по сферическим гармоникам. Таким же образом можно рассматривать и задачу, представляющую большой интерес для метеорологов, о резонанс­ ном взаимодействии волн как между собой, так и об их взаимо­ действии с зональным потоком (Галин (1974)).

101

Глава VII

СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНО-НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 1. Аффинные инварианты и критерий существования квадратичного интеграла для систем второго порядка

В гл! II мы уже исследовали некоторые свойства простейших квадратично-нелинейных систем при линейной замене переменных Естественно ввести общие понятия эквивалентности квадратичнонелинейных систем. Две такие системы называются эквивалент­ ными, если путем некоторой замены переменных, осуществляе­ мой с помощью обратимого линейного преобразования (детерми­ нант соответствующей матрицы отличен от нуля), можно добиться численного равенства компонентов взаимодействия Г* .fc, опреде­

ляющих уравнения движения этих систем. Мы будем говорить также, что эквивалентные системы имеют одинаковую структуру. Всякое структурное свойство является общим для всего класса эквивалентных систем.

Регулярность и существование квадратичного интеграла движения являются примером структурных свойств, с помощью которых в гл. II был выделен специальный класс СГТ. Число

Поскольку в этом случае существует интеграл момента, то (о3= =const, и уравнения движения становятся фактически линейными.

103

В общем случае при наличии одного линейного интеграла движепия соответствующую линейную форму можно принять за одну из координат состояния ж,, и для оставшихся п—1 пере­ менных мы получим смешанную систему

где матрица /1гА= Г ‘Л.. В силу постоянства хн А), определяет линей­ ную часть прогностического оператора. Встречающиеся в при­ ложениях смешанные системы, уравнения движения которых содержат линейную и квадратичную части, формально можно рассматривать как чисто квадратичные нелинейные системы в про­ странстве состояний, размерность которого на единицу больше порядка данной системы, но допускающие линейный интеграл.

Ранее при рассмотрении квадратично-нелинейных систем мы постулировали существование квадратичного интеграла, имея в виду наличие интеграла энергии в конкретных физических системах. При более общем подходе возникает естественный вопрос о критериях существования квадратичных интегралов движения. Если нам известны только уравнения движения си­ стемы

и условие совместности системы (7. 4) накладывает существенные

104

возможных решений удается отыскать такие, для которых форма S является положительно определенной. Следует заметить, что такой прямой способ исследования приводит к крайне громозд­ ким вычислениям уже при п = 3.

Для простейших систем второго и третьего порядка можно,, однако,, получить простые критерии путем исследования аффин­ ных инвариантов соответствующей системы дифференциальных уравнений. Такое исследование представляет определенный интерес, так как указывает путь получения интегралов движе­ ния, связанных непосредственно с уравнениями движения системы

С помощью афинора I1(х) можно записать уравнения возмущен­ ного движения вблизи заданной траектории x' (t). Полагая

.г* =£'(£) -ҢЛ где x'{t) удовлетворяет исходным уравнениям движе­ ния и пренебрегая квадратичным по у членом, получаем

Г (х) являются некоторыми скалярными функциями вектора х и имеют размерность обратного времени.

Для квадратично-нелинейных систем характеристический аф­ финор зависит от векторного аргумента линейно. Условия сим­

Линейное аффинорное поле Г (х) в фазовом пространстве, удов­ летворяющее условию (7. 7), взаимно однозначно связано с урав­ нениями движепия системы. Вместо характеристических чисел

являющиеся однородными формами различного порядка от век­ тора состояния с размерностью частоты в некоторой степени и

к однородной форме порядка (пг+1). Таким способом между раз­ личными характеристическими формами могут быть установлены

105