Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

дифференциальные соотношения, вид которых, конечно, не зави­ сит от выбора системы координат. Поэтому для получения таких соотношений, имеющих инвариантный характер, можно пользо­ ваться любой удобной системой координат.

После этих общих замечаний перейдем к рассмотрению про­ стейшего случая: квадратично-нелинейной системы при п = 2.

Докажем следующую теорему: если эта система имеет интеграл движения

то этот интеграл представим в форме

(7. 9)

Если Е представляет энергию системы, то константа J имеет раз­ мерность момента инерции. Для доказательства этого положения

и, следовательно, является интегралом движения. Из геометри­ ческих соображений ясно, что построеппе такой системы коорди­ нат всегда возможно. Напишем теперь соответствующие уравне­ ния движения

где коэффициенты Г,. ч. определяются из двух условий:

дІ . да __

Таким образом, в канонической системе координат

(7. 11)

106

Величины а и doldt непосредственно вычисляются из уравнений движения. Заметим, что любой другой квадратичный интеграл может отличаться от Ё только постоянным множителем. Отсюда получаем критерий того, что заданная квадратично-нелинейная система дифференциальных уравнений имеет положительно опре­ деленный интеграл движения. Сначала по заданным уравнениям движения находится величина о, а затем da/dt и, соответственно, Е = х/2 (a2-\-do/dt). Если при подстановке в уравнения движения обнаружится, что dE/dt = 0 и, кроме того, Е является положи­ тельно определенной формой, то тем самым искомый интеграл дви­ жения будет уже найден. Может оказаться, что dE/dt Ф 0, тогда у системы нет квадратичных интегралов. Существует также сле­ дующая возможность: Е является интегралом движения, но не об­ ладает свойством положительной определенности. Ниже рас­ смотрены соответствующие случаи на конкретных примерах.

1. Пусть в некоторой системе координат уравнения движения имеют вид

X — —6z2 — Txij — 2iß,

у = КЪ2 + i i x y + Зу2.

Будем исследовать эту систему, пользуясь изложенным выше ме­ тодом. Находим прежде всего величину а

с = —1( £ + ^ ) = 12а: + 7г/ — И® — 6j/ = a: + у.

Вычислим теперь на основании уравнений движения производную

+ у = 4z2 + 4ху + у2= (2х + у)2> 0.

Отсюда следует, что квадратичная форма

Е = У (а* + 1 ) = 4 (5а:2 + 6ху + 2у2) > 0

положительно определенная. Проверим, является ли она интег­ ралом движения.

§ = і &+ щ у = (5ж+ Зу) (_6а;2 - 1ху - 2г/2) +

+ (Зх + 2у) (10а:2 + И ху + 3у2) = 0.

Таким образом, в данном примере Ё есть квадратичный интеграл движения.

107

2. Рассмотрим второй пример. Пусть имеется система

А = — X2 — Зг/2,

у = х г + 4,гу — i f .

Для нее

а = 2 ( у — х),

Т, = Ч г + <Л\

Однако, как легко убедиться,

JI (х2+ У2) = 2 (—.г3+ ,г2г/ -f ху”- — if) фО.

Это означает, что система вообще ие имеет квадратичных интегра­ лов.

3. Наконец, в случае системы

d x

dydt_ — х~

получаем

E = 2 ( l f - X %

Квадратичная форма E этой системы является интегралом дви­ жения, ио ие является положительно определенной. Легко уста­ новить, что в этом случае существуют интегральные кривые, ухо­ дящие на бесконечность за конечное время.

§ 2. Условия существования алгебраических интегралов для регулярной системы третьего порядка

Регулярная система третьего порядка определяется в произ­ вольной системе координат, как нетрудно подсчитать, пятнад­ цатью числовыми коэффициентами. Для исследования такой сис­ темы можно воспользоваться аффинно-инвариантными характерис­ тиками, которые могут быть найдены лишь из вида системы. Если система в действительности принадлежит классу СГТ, то между аффинными характеристиками возникают определенные соотношения, которые можно проверить.

108

Для отыскания таких соотношений воспользуемся специальной системой координат, в которой уравнения движения триплета имеют канонический вид, указанный в гл. II

(7.13)

причем р -\-q-\-r=0. Для определенности будем считать, что рг )> > 0 , pq < 0 , rq < 0; это означает, что х х и х 3 — устойчивые моды, а ж2 — неустойчивая. Построим для этой системы характеристи­ ческую матрицу (аффинор)

• 0 рхз рх2 -

ГХ„ /•£, 0 ,

В силу регулярности Sp Г = 0 и основной интерес приобретает характеристическая функция (квадратичная форма) %, которая по определению (7. 8) равна

Если система не вырождена, то характеристическая квадратичная форма также не вырождена и имеет два члена отрицательных и один положительный, т. е. сигнатуру (------ + ). Для однократно вырожденной системы (симметричный гироскоп) характеристи­ ческая форма содержит одно слагаемое, имеющее отрицательный знак. Двукратно вырожденный триплет отвечает тривиальной системе, у которой все коэффициенты равны нулю.

Если мы вычислим характеристическую форму для некоторой системы третьего порядка и убедимся после соответствующего исследования, что сигнатура формы отличается от (------ -{-), это будет означать, что система не является СГТ, так как для нее ие существует положительно определенного интеграла движения. Если сигнатура получилась «правильной», то мы можем продол­ жить анализ, определив с помощью дифференцирования согласно уравнениям движения величины dy/dt, d2y/dt2 и d3y/dt3, являю­ щиеся соответственно формами третьего, четвертого и пятого порядка (С, D , Е).

Выполним теперь соответствующие вычисления для СГТ, вос­ пользовавшись каноническим представлением. Дифференцируя,

109

Сравнение (7. 18) с (7. 16) и (7. 15) показывает, что выполняется следующее фундаментальное соотношение:

Полученное соотношение носит аффинно-инвариантный характер и поэтому справедливо для любой СГТ третьего порядка. Это соотношение, выражающее форму пятого порядка через произве­ дение формы второго и третьего порядка, можно назвать условием приводимости. Оно является необходимым условием существова­ ния квадратичного интеграла движения у регулярной системы третьего порядка.

По существу, можно считать, что это соотношение при выпол­ нении некоторых дополнительных требований типа неравенств является также достаточным условием того, что данная регуляр­ ная система принадлежит классу СГТ. Во всяком случае исполь­ зование афинно-инвариантного соотношения (7.19) приводит для характеристической функции к дифференциальному уравнению третьего порядка, которое эквивалентно системе трех уравнений первого порядка, описывающих триплет в каноническом представлении.

есть форма четвертого порядка, являющаяся интегралом движения. Уравнение (7. 20) также легко интегрируется. После умноже­

является вторым интегралом движения, что легко проверить непосредственно.

Полученное дифференциальное уравнение (7. 23) для харак­ теристической функции X, содержащее два параметра W и В (постоянные вдоль траектории), является известным уравнением

ПО