Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 78

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Бейерштрасса и при замене переменных j£ = (/6ß, t = f ä i \

приво­

дится к стандартной форме

(1. 25)

x= 2 Y ü W , g3 = — 2Ф.

(7. 25а)

Решением этого уравнения является эллиптическая '(р-функция Бейерштрасса (Бейтмен и Эрдейи (1967)).

В следующем параграфе будет показано, что из условия су­ ществования для исходной системы положительно определенного квадратичного интеграла вытекает, что указанные выше формы четвертого W и шестого Ф порядка для СГТ должны удовлетво­ рять неравенству

Заметим при этом,

4И/3 — 9Ф2 > 0.

W

(7.26)

что положительность

 

следует уже из того,

что по определению

W =■ В г

---- ---

С

и вместе с тем она является

 

 

интегралом движения; поэтому после усреднения по траектории получаем

0 < И / = <£2>.

(7.27)

§ 3. Интегрирование уравнений движения канонического триплета

Как известно, уравнения движения триплета допускают два независимых квадратичных интеграла, причем физический смысл этих интегралов зависит от характера задачи. Так, например, для эйлеровского гироскопа в качестве второго интеграла (наряду с энергией) обычно используется квадрат момента, а в гидродина­ мической интерпретации триплета, указанной в первой главе, роль второго интеграла играет сумма квадратов циркуляции по главным сечениям.

При общем теоретическом анализе уравнений движения три­ плета целесообразно рассматривать некоторые «канонические» интегралы, в выражения для которых входят только коэффици­ енты исходных уравнений. В связи с этим введем в рассмотрение

 

Q

 

 

^

 

 

 

следующие три зависимых интеграла движения:

 

(7. 28)

1 q г ’

 

2

г

р ’

3 р

q

__ ■£*>

 

__

З-з

 

 

#2

связанные соотношением

+ S 2 + <S3—0,

 

 

(7.28а)

S y

 

 

Ш

или эквивалентные им интегралы е1, е2 и е3

 

 

 

 

 

—

S

2 "

S of

60 -

S

S

2,

S о

 

S

j>

 

(7.29)

Последние величины можно также записать в виде

 

 

хъ

Хз

 

2

х|

if

15

е ___

 

 

 

х\

(7. 30)

Я

 

 

 

р ~

 

 

 

Т '

---- ^-----, е„

 

 

 

 

--3

 

SSt,-

 

 

 

— 3*S3, 2

 

 

 

 

Г

 

1 — е 2

г ’

 

 

 

~ ’

 

 

р

 

(7. 30а)

 

 

еч— ез = 3 5 г> £3

 

 

 

 

 

Удобно также использовать другую нормировку для канони­ ческих интегралов, вводя инварианты

которые, как следует из (7. 29), связаны соотношением

еі “г е2 + ез =

В(х),

(7 ■ ’32)

Выведем аналитическое выражение для

 

задаваемой

(7. 15), воспользовавшись сначала для этой цели аналитическими решениями уравнений (7.13). Известпо, что решение (7. 13) вы­ ражается через эллиптические функции Якоби (см., например, Ландау и Лифшиц (1958)). Непосредственной проверкой можно убедиться, что если выбрать начало отсчета времени в момент, когда х 3—0, то

 

 

 

 

 

Х1~

 

dnуі,

 

 

 

 

 

 

 

 

х3 = Я 2 си у£,

 

 

 

 

 

 

 

 

Хо =

3

sir у£.

 

 

 

си

 

 

 

 

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\/1

 

 

х =

 

— S11 X, dn х =

 

— /с sn X,

 

/ е.з —

2

 

 

 

2

2

Аг= 4 г

VI

 

 

) '

 

 

1 /еЯ- е 2Ѵ/.

 

б/>

 

 

 

 

 

1

 

Ч gr

W \ ( е2 2

6

'3Ѵ рг

} ’

 

 

 

^3

 

1

 

— е3

у/»

 

 

 

 

 

 

 

рд

/ ’

 

 

 

 

 

 

—/ѵ2б-‘/. че

ея

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

— е3 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

е 1

 

 

 

 

 

Т == 6 “ І/3 Vе! —•е3 ~ 0,550 \/б] — е3.

(7. 33)

(7. 33а)

(7.336)

(1 . ЗЗв)

(7. ЗЗг)

Далее, используя (7. 15), (7. 33), (7. 336), а также следующую формулу связи ір-функции Вейерштрасса с эллиптическими функ­ циями Якоби (см. Гурвиц и Курант (1968)):

.1Р (гг+ш')=-|- [(е3 — ех) dn2

{гг \]е1 — е3) +

1

(е3 — е2) си2 {гг \jey — е3} +

получим

в

(х) =

+ (е2

— ез) sn2 W e

 

— е3}]

(7• 34)

 

 

61/atf>(6_,/ait + со') ^ 1,817тР(0,55 + со').

(7. 35)

112

Как известно, основными периодами ^-функции Вейерштрасса

являются 2ш и 2 о)', т.

ѳ.

2о),

2ш')

и

ТР (и) = ТР

е1= ір(ш),

е2=

(ш + ш')>

е3='6 э(ш').

Поскольку мы рассматриваем только вещественные значения еѵ е2 и е3, то, как следует из теории эллиптических функций, вто^ рой полупериод ш' является чисто мнимым и, если еѵ е2 и е3 дей^ ствителыіыѳ и различные, а также

б і > е2 > ез.

(7.36)

то величины, выражающиеся в виде интегралов

 

dx

)

 

(7.37)

2ш =

2К (кел

 

'/(■^— еі) Н —«г) — е3)

Ѵе, —

 

 

2ш' — і

2іК (k')

■

(7. 38)

 

 

 

'Ч —

и будут основными периодами интересующей нас эллиптической функции Вейерштрасса тР (и.) (Бейтмен и Эрдейи (1967)).

Здесь К (к) — полный эллиптический интеграл 1-го рода

vH — /с- s ie - 9

а. к' — дополнительный модуль

к1= і/І — к1.

^Выражение (7. 35) для характеристической формы В (х) можно получить, не прибегая непосредственно к решению (7.33) и (7. 336) исходной системы уравнений (7.13), если воспользоваться аффинно­ инвариантным методом описания, приводящим, как было показано выше, к алгебраическому дифференциальному уравнению Вейер­ штрасса (7. 25), (7. 25а) для ß. Указанный метод обладает несом­ ненным преимуществом, поскольку ие требует использования какой-либо специальной системы координат. Для того чтобы полу­ чить требуемую формулу, заметим, что общее решение уравнения (7. 25) записывается с помощью эллиптической тР-функции Вейер­ штрасса в следующем виде:

где

С

 

 

ßfo) = TPC4 + C).

(7.39)

 

— произвольная постоянная.

 

 

 

Далее, используя свойство (7. 32) и выражения для интегралов

движения

W

и Ф через канонические интегралы

движения

еѵ

 

 

8 Нелинейные системы

113

k2=0,V;Si=2,077-, /= ^ = ß J S â

Рис. 27. Аппроксимация решений тригонометрическими функ­ циями при /с2= 0 ,4

е2 и

ед,

которые могут быть получены из определений (7.

22),

(7.

24)

и

(7 30), (7.

31), нетрудно показать, что инварианты

еѵ

е2

и

е3

совпадают с

корнями

кубического

уравнения

 

 

(7.40)

соответствующего (7.

25). Поэтому

если предположить,

что.

 

еѵ

е2

и

е3

вещественны,

то дискриминант А уравнения (7. 40)

будет

положителен

А = gl — 27gl = 12 (4W' — УФ2) > 0,

из

 

(7.41)

и

мы

получаем неравенство (7. 26). В этом случае

свойств

$>-функцип Вейерштрасса следует, что существует такая пара при­

митивных периодов 2ш,

2ш'_ что ш — вещественное число, а ш '—

мнимое, причем

ш и ш '

определяются из соотношений (7. 37),

(7. 38) и (7. ЗЗв),

в которых

еѵ е2

и

е3

находятся как функции

W

 

 

 

и Ф из решения кубического уравнения (7. 40), (7. 25а). Учитывая, что функция ß (*,) ограничена и при любых т) может принимать лишь действительные значения, находим с помощью известных свойств ір-функции Вейерштрасса (см., например, Бейтмен и Эр-

О

 

- O J

 

 

-/

-

 

~/,s

 

Рис.

28. Лемиискатическпй

случай: кг£2=- 0 ,5 (представле-

 

нпе через

тэта-функции)

114

% L,ß

к г =0, 7 ; 32 =/, 3/73 , } ■=/, 330

 

Рис. 29. Аппроксимация решений гиперболическими

функциями при&2= 0 ,7 (а), А2=1 —10_3 (б), кг= 1—0,74Х

X ІО“« (а)

дейи (1967)), что константа С в (7. 39) должна быть равна ш'е откуда и следует полученное ранее другим способом выражени

(7. 35).

Связь W и Ф с еѵ е2и е3находится путем использования формул для симметрических функций корней алгебраического уравнения

8* 115

(7. 40), (7. 25а) (Бейтмен и Эрдейи (1967)), что приводит к следую­ щим соотношениям:

W = 6"Ѵз (е\ +

el + el),

(7. 42)

Ф =

— 2eje2e3.

(7. 43)

На рис. 27, 28, 29 представлены в безразмерном виде графи­

ческие зависимости решений

у г,

ул

и

уравнений движения (7. 13)

 

ß

 

и характеристической формы

от безразмерного параметра вре­

мени при значениях параметра /г2=0,4; 0,5; 0,7; 0,999 и /с2= 1 — —0,74-ІО-8 соответственно, причем время отсчитывается в неко­

торых

условных единицах, в которых период для решений

 

Хз и Хз оказывается равным четырем.

 

 

 

Из сравнения кривых, отвечающих данным типичным случаям,

видно,

что при

кг,

близких к нулю (практически в интервале

0 <Г /с2

<С 0,5), кривые имеют синусоидальный вид. При значениях

к

 

приближающихся к единице, экстремумы кривых становятся

2,

менее острыми и при значениях /с2, близких к единице (рис. 29,

б

и

б),

они приобретают заметно выраженный ступенчатый характер.

 

 

 

 

 

 

Форму всех этих кривых удобно исследовать с помощью асимптоти­ ческих представлений эллиптических функций через тригонометри­

ческие

функции

(при малых

/с2) и

гиперболические

функции

{при

к2,

близких

к единице).

Вывод

соответствующих

формул

 

 

приводится в приложении II.

Смотрите также файлы