Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

Глава VIII

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

§ 1. Стационарные гауссовские распределения при отсутствии внешних воздействий

Применение статистических методов к изучению процессов в сис­ темах гидродинамического типа представляет интерес в связи с проблемой турбулентности и оценкой влияния молекулярных флуктуаций на гидродинамические процессы. Естественно, что статистическое описание СГТ носит модельный характер, вместе с тем оно существенно проще, чем применение статистики к исход­ ным уравнениям гидромеханики, и не требует сложного математи­

äi+ £ > ( i v> v f ) = 0- м

Если система регулярна, то (8. 2) эквивалентно условию df/dt=О, т. ѳ. / является интегралом движения.

При этом наиболее интересным является случай, когда / явно не зависит от времени. Таким образом, к СГТ применима известная теорема статистической механики о том, что плотность стационар­ ного распределения является интегралом движениясистемы.

В связи с этим для любой системы гидродинамического типа

117

еще второй квадратичный интеграл, отличный от энергии, как, например, в двумерной гидродинамической задаче, где сохраня­ ется также средний квадрат вихря, можно построить стационарные гауссовские распределения, отличные от распределения Гиббса и зависящие от двух параметров (Обухов (1969), Кляцкин (1969)).

Зная плотность распределения /, можно вычислять математи­ ческое ожидание <(ф)> физических величии — функций состояния системы

роко используется метод моментов Фридмана и Келлера. Для конечномерных моделей моменты представляются симметричными тензорами различных порядков

Используя уравнения движения системы, например, уравнения (2. 12), можно построить для моментов цепочку уравнений — известные в гидродинамике уравнения Фридмана — Келлера (точнее, их конечномерный аналог)

(8. 7)

Бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравне­ ний — уравнений Фридмана — Келлера, по существу, эквива­ лентна одному уравнению в частных производных — уравнению Луивилля (8. 2).

Для того чтобы оборвать бесконечную цепочку уравнений Фридмана — Келлера и получить замкнутую систему уравнений для моментов первых трех порядков, М . Д . Миллионщиков (1941) предложил известную гипотезу «замыкания» — так называемую

118

гипотезу четвертых моментов, которая сводится к применению формулы (предполагается, что <Ѵ)>=0)

а в общем случае может рассматриваться как некоторое прибли­ жение.

Посмотрим теперь, как «работает» метод моментов в сочетании с гипотезой Миллионщикова при отыскании характеристик ста- тистически-стационарного режима в СГТ. Для простоты ограни­ чимся случаем канонического триплета, хотя аналогичные вычис­ ления можно было бы провести и в общем случае. Уравнения

Другие уравнения для вторых моментов получаются циклической подстановкой (xyz), (pqr). Вторые производные от вторых моментов будут выражаться уже через моменты четвертого порядка

Требуя равенства нулю вторых производных, что выполняется для стационарных распределений, и пользуясь гипотезой Миллион­ щикова для вычисления моментов четвертого порядка, легко убедиться, что получаемые при этом уравнения удовлетворяются, если все недиагональные компоненты вторых моментов обраща­ ются в нуль

а главные моменты 5 11=(.'Г2) , В 22=(х/2у, B 33= y z 2y удовлетворяют соотношению

Н9

является интегралом движения, и, следовательно, функция Гаусса

/ = Се~а,

полностью определяемая вторыми моментами, является тонным решением для стационарной задачи. Соотношения Миллионщикова для четвертых моментов при этом выполняются автомати­ чески.

Таким образом, применение гипотезы Миллионщикова к сис­ темам гидродинамического типа при дополнительном требовании обращения в пуль вторых производных по времени от моментов второго порядка (слабая стационарность) приводит к некоторому квадратичному интегралу движения, с помощью которого можно построить стационарное распределение Гаусса. Если у системы нет квадратичных интегралов, кроме энергии, то мы, естественно, приходим к распределению Больцмана, для которого параметр распределения ß является аналогом обратной температуры.

Вычислим теперь среднее значение введенной в гл. V характе­ ристической формы

В энергетическом представлении с учетом (8. 4) имеем 5 'fc=25a7ß

уже не зависит от распределения параметра ß и может рассматри­ ваться как некоторая внутренняя характеристика системы, опре­ деляемая инвариантным способом.

Покажем теперь, что среднее значение % всегда отрицательно и в любом энергетическом представлении инвариант — Sp С выражается через сумму квадратов коэффициентов взаимодей­ ствия. Воспользуемся для этого основным циклическим соотно­ шением (2. 15), выражающим закон сохранения энергии

Г <іД + Г / .» + Г * .у = 0.

120