Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

Умножим это равенство на Г*’ JK и проведем свертку. Заметим при этом, что в энергетическом представлении различие между

(в силу свойств симметрии динамического тензора многие коэф­ фициенты при этом входят в сумму дважды). Выполняя соответ­

При фактическом пользовании этой формулой следует помнить, что при / Ф к соответствующие коэффициенты взаимодействия непос­ редственно входят в правую часть уравнений движения, а компо­ ненты вида Г,.^- представляют соответственно удвоенные коэффи­ циенты при квадрате некоторой переменной. Отсюда следует пра­ вило — след характеристической матрицы, вычисленной в любой декартовой системе координат (энергетическое представление), взятый с обратным знаком, представляет собой сумму квадратов коэффициентов, входящих в правую часть уравнений движения, при этом квадраты коэффициентов при квадратах соответствую­ щих переменных берутся с двойным весом, т. е. считаются как бы дважды.

Поясним сказанное на примере двух простейших эквивалент­ ных между собой систем:

Как уже отмечалось ранее (гл. II, § 3), система В переходит

X— ( u C u ) = Sp Г 2 (u) = — 4p2K? — 2 p 4 \ — 4р ъи \ ,

—SpC = 6p2.

121

Как и следовало ожидать, мы получили то же значение. Вычислим теперь для системы ß «сумму квадратов» коэффициентов (учиты­ вая правило весов)

р* + 2(р* + р 2) + р» = 6р2.

Полученная выше инвариантная характеристика системы мо­ жет оказаться полезной при анализе сложных систем и их аппрок­ симации более простыми.

Отметим в заключение, что решение общего уравнения Лиувилля в нестационарном случае, связанное с большими математи­ ческими трудностями, представляет определенный интерес и для прогностических целей. В этом случае хотя сами уравнения прогноза являются чисто динамическими (некоторая аппроксима­ ция уравнения гидродинамики), задача прогноза ставится ста­ тистически благодаря неполноте начальной информации (непол­ нота измерений, турбулентность и т. и.). Уравнением, описываю­ щим эволюцию функции распределения во времени, как раз и явля­ ется уравнение Лнувнлля. Такой подход к задачам численного прогноза метеорологических процессов описан в ряде работ, опубликованных в последние годы (Обухов (1967), Татарский

(1969), Эпштейн (1969), Флеминг (1971)).

§2. Уравнение Эйнштейна — Фоккера для СГТ

при наличии диссипации и внешнего шума

Переходим теперь к рассмотрению систем гидродинамического типа, находящихся под влиянием некоторого внешнего воздей­ ствия. При этом учитываются также диссипативные и флуктуационные силы. Конкретно рассматривается простейшая система типа триплета.

Системы гидродинамического типа с учетом линейного трения и внешнего шума можно описывать динамическими уравнениями *

*В общем случае диссипативный член имеет вид Х,-уѴу. Однако всегда можно выбрать систему координат, в которой две положительно определенные квадратичные формы — энергия и диссипация — имеют диагональный вид, что соответствует (8. 14).

122

где Х(<) — коэффициент трения для і-компоненты TV-мерного век­ тора V , а Ff (ѵ) — квадратичная по ѵ функция, обладающая свой­ ствами (см. гл. II)

Здесь и ниже по повторяющимся индексам подразумевается сум­ мирование по і = 1 до N (за исключением тех случаев, когда одни из индексов заключен в круглые скобки, как, например, в (8.14)).

Дельта-коррелированность («белый шум») обусловлена тем

Для дальнейшего нам понадобится значение вариационной производной Ьѵ{ (f)/8/. (t') при t' —t. Чтобы вычислить эту вели­ чину, проинтегрируем систему (8. 14) по t

іt

* Мы считаем, что начальные значения а,- (0) не зависят от 1.

123

Здесь V (t) — решение системы (8. 14), соответствующее опреде­ ленной реализации f (£), а усреднение производится по множеству всех реализаций 1'. Дифференцируя (8. 21) по і и используя (8.14), получаем уравнение для Р ( (ѵ)

d-W = -W , <v) - p*l- w {<f>W 8[V (*) - v]>. (8. 22)

Выражение, состоящее в (8. 22) под знаком усреднения, представ­ ляет собой среднее значение от произведения случайного про­ цесса (t) и функции от решения системы (8. 14) v (t), которая является функционалом от этого случайного процесса.

В приложении III выведена общая формула для вычисления таких средних значений, которая для рассматриваемого случая

соответствующем уравнению Эйнштейна — Фоккера с постоянным

в СГТ (относительно состояния покоя ѵ (0)=0), вызванных тепло­ вым движением молекул *.

Для равновесных тепловых флуктуаций стационарное решение уравнения (8. 24), не зависящее от начальных данных, должно иметь характер максвелловского распределения, соответствую­

* Общая корреляционная теория равновесных гидродинамических флуктуа­ ций была построена в работе Ландау и Лифшица (1957) путем введения «стороннего тензора напряжения» в уравнение Навье— Стокса и вектора «стороннего теплового потока» в уравнение переноса тепла, обладающих определенными статистическими свойствами, аналогичными формуле (8. 16). На основе этой теории в работе Кляцкина (1971) изучались про­ странственно-временные корреляции равновесных гидродинамических по­ лей в идеальном газе, возбуждаемых тепловым движением молекул, и обсуждалась область применимости макроскопической теории турбулент­ ности.

124

где к — постоянная Больцмана, а Т — равновесная температура. Подставляя (8. 25) в (8. 24), получаем для величин рД, соотноше­ ния

диффузии броуновской частицы. При этом в силу условий (8. 15) имеет место

д/дй{ {І'\(у)Рт(ѵ)} = 0. (8.27)

Соотношения (8. 16) и (8. 26), таким образом, полностью .опреде­ ляют статистику «сторонних сил», и нелинейные члены в уравне­ ниях (8. 14), в силу (8. 27), роли не играют. Эти факты хорошо известны и представляют по своей сути приложение флуктуа- ционно-диссипативной теоремы (см., например, приложение I к книге Левина и Рытова (1967)) к СГТ.

Отметим, что динамическую систему (8.14) с соотношениями (8. 16), (8. 26) можно рассматривать как уравнения Ланжевена, описывающие броуновское движение СГТ. В простейшем случае (S3) система (8. 14) описывает броуновское вращательное движение гироскопа (в пространстве скоростей), и величины Xlf) при этом представляют собой эффективные коэффициенты трения, опреде­ ляемые сопротивлением среды.

Если случайные силы f. (t) вызваны не молекулярным движе­ нием, то соотношение (8. 26) не имеет места, и величины р? не за­ висят, вообще говоря, от Х(,). В этом случае стационарное распре­ деление вероятностей не является, вообще говоря, гауссовским распределением. Однако если СГТ может быть описана системой

§ 3. Шумы в СГТ при наличии регулярной составляющей силы

Пусть теперь на СГТ помимо случайных сторонних сил дей­ ствует также регулярная сила g. Уравнения, описывающие ди­ намику СГТ, в этом случае примут вид

с теми же «сторонними силами», что и в уравнении (8. 14). Если случайные силы I (і) вызваны молекулярным движением, то теп­ ловые флуктуации могут и не быть равновесными. Однако из фи­ зических соображений естественно считать, что тепловые флук-

125