Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

’гуадии описываются уравнением (8. 29) и в этом случае. Когда f(t) представляют влияние мелкомасштабных движений на дви­ жения более крупных масштабов, уравнение (8. 29) можно при­ нять за основу описания.

При отсутствии флуктуаций система (8. 29) имеет стационар­ ные решения, соответствующие решению системы алгебраических уравнений

^ ( ѵ „ ) + £ , = Х ''Ч „ . (8.30)

Следует отметить, что решение системы (8. 30) не единственно, и при выборе определенных решений должна учитываться устой­ чивость их по отношению к бесконечно малым возмущениям.

Наличие нелинейных членов в (8. 29) приводит к тому, что среднее движение (усреднение производится по ансамблю реали­ заций /) не совпадает с решением системы (8. 30) (поскольку воз­ никают напряжения Рейнольдса).

Так как уравнения (8. 29) описывают флуктуации макроско­ пической системы, в рассматриваемой задаче существует малый параметр °2= д2Мі>2.-ст (отношение энергии шумов к кинетической энергии макроскопического движения), малость которого позво­ ляет в ряде случаев существенно упростить задачу. В общем виде задача, описываемая уравнением (8. 29), чрезвычайно сложна. Однако наиболее важные общие черты поведения ее можно изу­ чить на примере простейшей системы (S 3).

Рассмотрим более подробно простейшую систему гидродина­ мического типа (5з), уравнения для которой запишем в безраз­

Как отмечалось в третьей главе, эта система эквивалентна динамическому описанию движения гироскопа с изотропным тре­ нием, возбуждаемого постоянным моментом внешних сил отно­ сительно неустойчивой оси. Стационарпое решение этой системы определяется параметром (числом Рейнольдса) R . Критическим параметром при этом является і?кр= 1 . В случае R <С 1 имеется стационарное решение, соответствующее «ламинарному» режиму

При R > 1 этот режим становится неустойчивым относительно бесконечно малых возмущений и устанавливается новый стацио­ нарный режим («вторичное течение»)

При этом в установившемся режиме уже имеется элемент случай­ ности, а именно, величина и1ст может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от знаков амплитуд малых начальных возмущений.

126

Рассмотрим теперь воздействие случайных внешних сил на эту динамическую систему. Пусть сначала случайная сила дей­ ствует только на компоненту ѵ0. В этом случае динамическая система будет описываться уравнениями

</o(* + ^)/o(0> = 2o*S(,).

При R <C 1 компоненты ѵг и v2 возбуждаться не будут, а стацио­ нарное распределение вероятностей для компоненты ѵй будет гауссовскпм

Отметим, что эволюция во времени компоненты ѵх определяется ее начальным значением. Если ѵг (0) )> 0, то в отсутствие случай­ ной силы ѵг (t) при t -* со стремится к своему стационарному

Система уравнений (8. 38) аналогична уравнению Ланжевена для описания броуновского движения частицы во внешнем поле U (cp) (tp — играет роль координаты частицы, а — ее скорости).

Соответствующее уравнение Эйнштейна — Фоккера для со­ вместной плотности вероятностей <ри ѵ'0 имеет вид (см., например, работы Уленбека (1971), Кляцкина и Татарского (1973))

тельно, стационарное распределение вероятностей для решения

127

уравнения (8. 39) аналогично каноническому распределению Гиббса

Из распределения (8. 40) следует, что стационарное распределе­ ние для компоненты ѵ0 будет гауссовским

а распределение вероятностей для ш пе является гауссовским, и они ие коррелируют между собой.

Рис. 30. Стационарные плот­ ности распределения вероят­ ностей для компоненты ѵ1 ди­ намической системы (8.37) и для флуктуаций ѵ0' компо­ ненты ѵ0 около Гу. = 1 в слу­

чае, когда R > 1, а случай­ ные силы действуют лишь на ѵ0

Возвращаясь к переменной ѵѵ получаем стационарное распре­ деление вероятностей для нее в виде

Отметим, что при критическом режиме (/?=1), как видно из (8. 42), не существует стационарного распределения вероятностей для компоненты ѵѵ Аналогичное распределение вероятностей можно получить и для случая ѵ1 (0) < 0 .

Отметим, что переход системы из начального состояния к ста­ ционарному, описываемому формулой (8. 40), происходит в две стадии: сначала быстро устанавливается максвелловское распре­ деление по скоростям и после этого значительно медленнее про­ исходит установление распределепия (8. 42) по координате о. Обсуждение этого вопроса см., например, в работе Уленбека (1971). Вторая стадия описывается при этом уравнением Эйн­

128

Отметим, что уравнейие (8. 44) является уравненйем Эйнштейна— Фоккѳра для стохастического динамического уравнения

А = —I'h [у? — (й — 1)] + yi/o {Qi

которое можно получить и непосредственно путем усреднений системы (8. 37) по соответствующему интервалу времени.

Рассмотрим теперь более сложный случай, когда на каждую из компонент действуют случайные силы. При этом соответствую­ щая стохастическая задача описывается динамической системой

»о = ѵ\ — ѵі — ѵо+ Я + /о (*).

Если R —0, то, как указывалось выше, стационарное распределе­ ние вероятностей имеет вид

P w (ѵ) = const exp {— Vjj2a2}.

Пусть теперь R —0 и R <C1. Тогда для флуктуаций компонент относительно их стационарных значений ѵ 'і= ѵ .—у .ст получаем систему уравнений

К = — — (1 + R) »2 + U (*)•

Для нахождения статистических характеристик решения системы (8. 46) можно воспользоваться теорией возмущений по малому параметру а2. Вторые моменты компонент ѵ\ будут описываться при этом линеаризированной системой уравнений (8. 46), а сред­ ние значения можно получить затем уже непосредственным усред­ нением системы уравнений (8. 46). В этом приближении все ком­ поненты не коррелируют между собой, а дисперсии флуктуаций V. имеют вид

Отметим, что формулы (8. 47) применимы лишь при R <^. 1. При увеличении R увеличиваются как интенсивность, так и вре­ менной радиус корреляций для компоненты ѵ\, в то время как интенсивность флуктуаций величины ѵ2 уменьшается. При R -> 1 увеличивается также (ѵ'^у, как это следует из (8. 46). Максимум флуктуаций для величины ѵ[ при этом достигается при переходе динамической системы через критический режим.