Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

т. е. выполняются закон сохранения энергии и условие регуляр­ ности.

Покажем, что система уравнений (2. 20) эквивалентна урав­ нениям Эйлера из теории гироскопа, которые в энергетических переменных имеют следующий вид;

пятью независимыми’ параметрами и при ортогональных преоб­ разованиях координат новые значения параметров линейно вы­ ражаются через старые. Такими же свойствами обладает симмет­ ричный тензор второго ранга Л <ь,»для ’^которого SpH.=0 ( П = = ||Н і7.|| — матрица коэффициентов). Если нам удастся инвариаптным способом установить взаимно однозначное соответствие между компонентами тензора Г\^. и симметричными матрицами А с Sp H =0 , то, опираясь на теорему о приводимости симметричных

(как всегда, по одинаковым индексам производится суммирование). Напомним, что компоненты е{ .к отличны от нуля, только если все индексы различны и в любой системе координат

34

коэффициентами уравнений (2. 20), полупим следующее представ­ ление для матрицы А :

Осуществляя ортогональное преобразование, которое приводит матрицу А к диагональному виду

и учитывая, что новые коэффициенты р, q, г также должны удов­ летворять условию (2. 21), получим

(2. 26)

Остальные параметры обращаются в нуль.

Таким образом, в новых переменных иа, м2, и3 уравнения дви­ жения приобретают форму (2. 22), и теорема об эквивалентности произвольного триплета классическому гироскопу доказана. В качестве примера рассмотрим систему, описываемую уравнени­ ями:

При ортогональном преобразовании (ѵа, ѵ3)

матрица А преобразуется в диагональную матрицу

0 0 0

А> = 0 — 31 0 , 0 0 31

з* 35

и уравнения движения приводятся к виду

что легко проверить непосредственным вычислением.

Поставим теперь вопрос о том, каким образом из сложной регулярной системы получить более простую систему, также регу­ лярную и удовлетворяющую закону сохранения энергии.

Практически для упрощения системы используется метод «замораживания» части фазовых координат и переход к «укоро­ ченной» системе, описываемой уже меньшим числом уравнений. Вопрос о законности такой операции решается обычно на основе физических соображений, позволяющих оценить, насколько воз­ буждены «лишние» степени свободы, которые теоретик склонен «заморозить» ради упрощения задачи.

Пусть исходная система обладает п степенями свободы, где п достаточно велико. Если система задана в ортогональном базисе, т. е. энергия выражается через сумму энергий каждой отдельной степени свободы, то при замораживании некоторого числа степеней свободы закон сохранения не нарушается и энергия также представляется суммой квадратов оставшихся компонент. В са­ мом деле, замораживание означает введение таких сил реакции,

Тогда при условии, что и( (0)=0, эти составляющие никогда не будут возбуждаться, сохранение энергии следует из уравнения баланса

поскольку

Доказательство сохранения энергии для «укороченной» си­ стемы следует также из равенства (2. 15), справедливого для всех

полнялись, достаточно замораживать те степени свободы, которым соответствуют уравнения с правыми частями, не содержащими таких степеней свободы, т. е. dvhldvh = 0 (для некоторого фикси­ рованного к).

36

Можно выделить класс систем, для которых существует орто­ гональный базис, образованный стационарными состояниями си­ стемы. В таком базисе коэффициенты взаимодействия І\ .к от­ личны от нуля, только если все индексы і, /, к различны. Такие системы мы будем называть вполне регулярными. В этом случае при использовании естественного базиса любая подсистема, полу­ ченная замораживанием любых переменных, будет регулярной.

Нетрудно показать, что система обязательно будет вполне регулярной, если существует два существенно различных ква­ дратичных интеграла (один из них — энергия), причем все соб­ ственные зиачеиия второй квадратичной формы должны быть различны (нет кратных корней в энергетическом представлении).

Примером вполне регулярной системы может служить баротропиая атмосфера, движение которой описывается уравнением

(Обухов (1969))

является стационарным решением уравнения (2. 28) и в сово­ купности образует полную систему «опорных функций» (базис).

Можно привести пример регулярной, но не вполне регулярной системы (при 7z=4)

dxjd хг + dyjdx„ + дх3/дх3 + dyjdy3 = 0,

2Е=х{-\-у\-\-х*-\-у\ — интеграл движения. Однако у этой системы не существует ортогонального базиса, образованного стационар­ ными состояниями.

§ 4. Конструирование сложных систем путем суперпозиции триплетов

В начале этой главы было выяснено, что простейшей системой гидродинамического типа является триплет. Оказывается, что триплет можно рассматривать как основной элемент при построе­ нии сложных гидродинамических систем с большим числом сте­ пеней свободы. Конструирование таких сложных систем из про­ стейших триплетных «блоков» опирается на важное понятие суперпозиции СГТ,

37

можно строить системы, являющиеся суперпозицией любого числа триплетов.

Принцип суперпозиции триплетов позволяет «конструировать» сложные многомодовые модели с «заданными свойствами».

Ниже, в гл. V II, будет показано, как таким способом построить «многоуровенные» модели для описания процесса каскадного пре­ образования энергии в развитом турбулентном потоке.

§5. Некоторые общие замечания о применении СГТ

вгеофизике

Общее определение систем гидродинамического типа охваты­ вает широкий класс задач, в которых (при надлежащей параме­ тризации полей) уравнения гидродинамики решаются в квадра­ тичном приближении. Сюда входят не только задачи, использу­ ющие модель несжимаемой жидкости, но и вопросы, трактуемые в рамках модели слабо-сжимаемой среды, .когда для медленных (вихревых) гидродинамических процессов сжимаемость учитыва­ ется квазистатически, а быстрые волновые процессы имеют ма­

38