ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 73
Скачиваний: 0
лую амплитуду и не оказывают обратного влияния на медленные процессы, которые, в свою очередь, являются для волновых процессов некоторым заданным фоном. Именно так дело обстоит в задачах динамической метеорологии. Следует, однако, предо стеречь читателя, что для исследования существенно нелинейных волновых процессов квадратично-нелинейное приближение может оказаться недостаточным и в уравнениях движения потребуется учет кубических членов.
Трудная проблема энергетического взаимодействия вихревого поля (турбулентность) и звуковых волн, по-видимому, относится к этому классу задач, выходящих за рамки развитой выше теории систем гидродинамического типа.
Для простейших случаев такие системы допускают вполне конкретное исследование. На них удается промоделировать такое, вообще говоря, весьма сложное явление, как гидродинамическая неустойчивость, выяснить роль нелинейности в явлениях кон векции, построить системы типа цепочек, поясняющие каскадный механизм преобразования энергии (Обухов, 19716).
Приводимые примеры в последующих главах в значительной степени имеют иллюстративный характер, однако, как можно думать, окажутся полезными при анализе реальных динамических процессов в атмосфере и в Мировом океане.
Основная трудность при этом — отыскание подходящей «си стемы координат» (опорных функций), при пользовании которой гидродинамические процессы допускают приближенные описания в рамках рассмотренных в этой книге схем. Тем самым речь идет об отыскании некоторых наиболее удобных для исследования спектральных моделей.
Представляется, что самый эффективный путь раскрытия за кономерностей в динамике земной атмосферы, рассматриваемой как единая физическая система, состоит в правильном сочетании общих методов нелинейной механики с конкретными расчетами на электронно-вычислительных машинах.
Для построения наиболее «экономных» координатных систем в фазовом пространстве при описании реальных геофизических объектов может оказаться полезным также метод разложения полей по естественным ортогональным составляющим (Багров (1959), Обухов (I960)). Этот метод уже сейчас получил опреде ленное развитие в применении к исследованию вертикальной структуры атмосферы, а также к изучению синоптических про цессов над значительной частью Северного полушария (Мещерская и другие (1970)). Построение соответствующих естественных со ставляющих метеорологических полей для глобального анализа динамических процессов в атмосфере и сопоставление их с си стемами функций, получаемых из динамических соображений, окажется возможным, когда исследователи получат в свое распо ряжение достаточно полный материал наблюдений о метеорологи ческих процессах в масштабе всего земного шара.
Глава III
ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ СИСТЕМЫ ТИПА ТРИПЛЕТ
§ 1. Предварительные замечания
Настоящая глава посвящена исследованию особенностей вынуж денного движения триплета, которые, как будет показано ниже, петрудно воспроизвести с помощью лабораторного эксперимента. Такой динамической системе уделяется особое внимание по двум причинам. Во-первых, как простейшая СГТ, она доступна анали тическим методам описания и, следовательно, позволяет детально разобраться в механизме нелинейного взаимодействия на при мере трех мод. Во-вторых, в ряде случаев течение реальной жидкости управляется динамическим уравнениями триплета, что дает возможность применять их для решения некоторых кон кретных задач гидродинамики. Например, задача о свободном жидком вращении внутри эллипсоида (гл. I) нашла свое приме нение в теории приливов и рассматривалась в трудах Гринхилла (1879), Хафа (1895) и Пуанкаре (1910), посвященных исследова нию колебаний самогравитирующей жидкости, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси. Весьма полезной она оказалась и при изучении динамики тел с полостями, заполненными жидкостью (Моисеев и Румянцев (1965)), начало которому было положено Жуковским (1885). К примерам ее применения относятся также резонансное взаимодействие пла нетарных волн (Лонге-Хиггинс, Гилл (1967)), плоское течение жидкости под действием периодической силы (гл. I) и некоторые другие, о которых речь пойдет ниже. Вообще согласно теореме, сформулированной в гл. I, исследование любого течения, в кото ром возбуждено не более трех степеней свободы (т. е. при его описании можно ограничиться тремя членами разложения по методу Галеркина), сводится к классической задаче о движении механического гироскопа, как это сделано, например, в работе Лоренца (1960) при выводе максимально упрощенных уравнений динамики баротропной атмосферы.
Движение триплета при отсутствии внешних и вязких сил достаточно подробно рассмотрено в гл. I, а кроме того, в гл. V будет дано аффинно-инвариантное его описание с помощью ха рактеристической квадратичной формы. Здесь нас будет интере
40
совать динамика вынужденного движения триплета, рассмотрение которого позволит проиллюстрировать известное в гидродинамике явление, когда под влиянием незначительного изменения внешних условий в системе происходит скачкообразный переход из одного состояния в качественно новое состояние, причем последнее не всегда устанавливается однозначно. В связи с этим уместно вспомнить предложенную Бюргерсом (1939) математическую мо дель одномерного турбулентного течения жидкости, задава емую следующими уравнениями:
|
|
|
dU/dt = |
F |
— u2 |
— vf7, |
(3.1) |
||
|
|
|
du/dt — |
|
|||||
|
|
|
|
Uu |
— vH, |
|
|
||
|
|
U |
|
|
|
|
|
||
где |
|
— скорость основного потока, |
и |
— амплитуда |
пульсаций, |
||||
F |
— внешняя сила, ѵ — диссипативный параметр, |
причем за |
|||||||
|
|||||||||
единицу длины выбран характерный размер потока. Замечательное свойство модели Бюргерса состоит в том, что
она действительно описывает (хотя и не полностью) поведение реальной гидродинамической системы, поскольку, как будет показано в следующем параграфе, множество всех решений си стемы (3. 1) совпадает с подмножеством решений уравнений вы нужденного движения триплета.
Для наглядности дальнейшего изложения воспользуемся гид родинамической интерпретацией вынужденного движения три плета, имея в виду течение вязкой жидкости внутри эллипсоида под действием внешних сил.
§ 2. Вынужденное движение жидкости внутри эллипсоида
Единственное предположение о линейности по пространству поля скоростей, на котором основывался в гл. I вывод упрощен ных уравнений движения идеальной жидкости внутри эллипсо ида, для вязкой жидксти, строго говоря, не выполняется, хотя бы из-за условий прилипания на стенках и возникновения вблизи них пограничного слоя. Можно, однако, ожидать, и это дейст вительно согласуется с результатами эксперимента (см. § 3), что влияние указанных факторов, по крайней мере для жидкостей с малой вязкостью, не распространяется в глубь жидкости, а сво дится к эффективному торможению жидкого ядра! поле скоростей в котором уже незначительно отличается от линейного.
Предполагая далее, что такое торможение пропорционально угловой скорости вращения жидкого ядра, уравнения его движения можно представить в следующем виде:
где компоненты |
^ ( й ХМ {—11М - кШ + |
F , |
I), |
І ік |
(3.2) |
|
вектора |
с% (см. гл. |
|
— диаго |
|||
нальная матрица, |
элементы |
которой |
равны |
/n= / (1)= 6 2-fc2 |
||
41
/22= / (2) = а2+ с 2, /33 = /(3)= я 2+ і а, |
а, |
Ъ и с — главные полуоси |
||||
эллипсоида, поверхность |
которого |
задается уравнением |
||||
(xja)2 |
-j- |
(x„/b)2 |
+ |
x j c |
)2— 1. |
|
|
|
( |
|
|||
Для определенности положим, что я > b ]> с. Параметры шь, характеризующие угловые скорости вращения вокруг главных осей эллипсоида, связаны с компонентами ротора скорости Q со отношениями
° 1~ Ъ'- |
Ьс |
аз + c2 2 |
о, |
ш ,= |
аЪ |
п |
(3.3) |
|||
+ с- Qi. |
||||||||||
F есть |
|
|
+ |
62 |
^з- |
|||||
момент внешних |
сил, приложенный |
к |
единице массы |
|||||||
жидкости, |
а А — эффективный коэффициент трения, |
которое ради |
||||||||
простоты предполагается изотропным. Учет анизотропии сил трения не представляет труда, если ввести вместо X тензор коэф фициентов трения Xt...
Наибольший интерес представляет случай, когда момент внешних сил действует в направлении наиболее неустойчивого
вращения, т. е. |
вдоль средней оси. |
Поэтому в дальнейшем пред |
||||
полагается, что |
F = (0, |
F, |
0). Для |
облегчения анализа |
удобно |
|
воспользоваться |
и |
несущественным ограничением, а именно |
/(2) = |
|||
= (/(і) + / (3))/2, |
ввести новые зависимые переменные |
|
||||
U = щ, |
v1 = |
(u1 -\-u3)l\J |
щ = (и3 — щ)/\/2, |
(3.4) |
||
|
|
|
|
2, |
||
где в. = \//(і)о)< (суммирование не подразумевается).
В новых переменных уравнение (3. 2) эквивалентно следующей системе:
ü = p ( v l - v \ ) - W + f,
v1 = |
pUv1 — Xi’j, |
(3.5) |
г)2 = |
—pUv2 — Хя2. |
|
Здесь f = F/\JIa); параметр р, имеющий размерность обратной длины, характеризует динамический масштаб системы L = l l p и определяется равенством
р = (я2 — с2)/2 [(я2 + Ь2) ф2+ с2) (с2 + я2)]1А. |
(3. 6) |
Полагая равными нулю левые части (3. 5), легко убедиться, что полученная таким образом система алгебраических уравнений имеет три решения, которыми исчерпываются все стационарные режимы жидкого вращения:
при / > 0 |
А) |
ü = |
f[k, |
Ѵі = |
ѵл = |
0, |
(3. 7) |
B , B ' ) U = |
yp, |
Vl= |
± |
Y |
j - б>2 = 0, |
||
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
при / < 0 в режимах В и В ', напротив, ^ = 0 ,
а
Р - '
Исследование на устойчивость по отношению к бесконечно малым возмущениям, которое при желании читатель без труда выполнит самостоятельно, показывает, что режим А оказывается устойчивым, если R = |/р/А2| ^ 1. Безразмерный параметр R можно трактовать как число Рейнольдса, определенное по на пору. В противном случае, когда R > 1, сколь угодна малое возмущение «опрокинет» гидродинамический волчок в одно из двух состояний — В или В 1, которые с точки зрения устойчивости
Рис. 7. Зависимость относи тельной кинетической энергии жидкого вращения от R = = I /р/X21. Е„ — кинетическая энергия при Д = 1
совершенно равноправны, и выбор одного из них зависит от знака начального возмущения.
Из рис. 7, на котором приведена зависимость относительной полной кинетической энергии жидкого вращения от R для ре жимов А , В жВ 1, видно, что при фиксированном R устойчивым состояниям соответствует минимальная энергия.
Следует подчеркнуть, что в рамках использованных при ближений явление опрокидывания наблюдается только при за кручивании жидкости вокруг средней оси, поскольку в противном
случае |
|
уравнение (3. 2) допускает единственный |
стационарный |
|||||||||||
режим |
А . |
Заметим также, что |
область устойчивости режимов |
В |
||||||||||
и |
В 1 |
|
совпадает с областью их |
математического |
существования |
|||||||||
R |
^ |
1, причем в случае і? = 1 режимы |
А , |
В |
и |
В' |
тождественны. |
|||||||
|
Чтобы получить более полноеUпредставление о поведении рас |
|||||||||||||
сматриваемой гидродинамической |
системы, попытаемся постро |
|||||||||||||
ить в пространстве параметров ( , |
ѵѵ |
у |
2) фазовые кривые, кото |
|||||||||||
рые, |
вообще говоря, трехмерны. |
Однако, |
как |
видно, из (3. 5) |
||||||||||
и (3. |
7), |
при / > 0 компонента |
ѵ2, |
равная нулю в начальный мо |
||||||||||
|
||||||||||||||
мент, остается таковой в течение всего времени движения, кото рое описывается в этом случае первыми двумя уравнениями си стемы (3. 5), в точности совпадающими с уравнениями (3. 1). Этим попутно устанавливается непосредственная связь жидкого гироскопа с моделью Бюргерса, недостаток которой состоит в том, что она несимметрична по отношению к изменению знака внешних
43