Файл: Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной).docx

Образец выполнения работы:

Задание	Решение	Комментарий
(6 баллов) Задание 1. На рисунке изображен куб. Назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые DB, AB1, C1В; б) точки пересечения прямой C1А с плоскостью DBC, прямой B1D1 с плоскостью AA1D; в) прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DCD1, D1BD и AA1B.	№ 1 а) б) в)	а) Проведем прямую . Она лежит в плоскости нижнего основания куба , любыми тремя из 4-х букв можно обозначить плоскость лежит в плоскости грани куба лежит в плоскости грани куба б) Проведем прямую Плоскость – это плоскость нижнего основания куба . Общей точкой является точка A. Плоскость – это плоскость грани куба . Общая с прямой точка – . в) Плоскость – это плоскость нижнего основания куба . Плоскость – это плоскость грани куба . Общая прямая – . Плоскость – это плоскость сечения куба (проводим дополнительно прямую ) Плоскость – это плоскость грани куба . Общая прямая – .
(4 балла)Задание 2. Решите задачу. Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр и наклонная, длины которых равны соответственно 3 см и 7 см. Найдите длину проекции наклонной.	Дано: A– точка, α – плоскость, – перпендикуляр к , – наклонная к , – проекция наклонной Требование: Решение: 1) Рассмотрим треугольник в соответствующей плоскости (плоскость существует по теореме "О существовании плоскости, проходящей через 3 данные точки") 2) – прямоугольный, ( по определению прямой перпендикулярной плоскости, т.к. – перпендикуляр к по условию) 3) По теореме Пифагора: Откуда, см Ответ: см.	Аналогично по известным перпендикуляру и проекции наклонной можно отыскать саму наклонную; по известным наклонной и проекции наклонной найти длину перпендикуляра. Отличаться в решении будет только 3 пункт Для обоснования существования плоскости может быть использовано другое утверждение
(6 баллов) Задание 3. Решите задачу. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся друг к другу как 1:4, а проекции наклонных равны 1 см и 8 см.	Дано: A – точка, α – плоскость, – перпендикуляр к , – наклонные к , – проекции наклонных, Требование: Решение: I. Пусть . II. Рассмотрим в соответствующей плоскости (существует по 3 аксиоме стереометрии) – прямоугольный, ( по определению прямой перпендикулярной плоскости, т.к. – перпендикуляр к по условию) По теореме Пифагора: Откуда, III. Рассмотрим в соответствующей плоскости (существует по 3 аксиоме стереометрии) – прямоугольный, ( по определению прямой перпендикулярной плоскости, т.к. – перпендикуляр к по условию) По теореме Пифагора: Откуда, IV. Из того, что и , следует: см – длина наклонной Ответ: см, см.	Извлекаем корень с положительным значением, т.к. находим длину.

---

Практическая работа № 6

Тема: Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве

Продолжительность: 1 час

Материалы для подготовки к практической работе:

1. 
   Конспект лекции по теме;
   
2. 
   Материалы учебника М.И. Башмакова Математика Глава 3 Занятие 1-3;
   

Образец работы:

Вариант 1	Вариант 2
(2 балла) Задание 1. Прямая А перпендикулярна плоскости АВС. Найдите расстояние между прямымиа и АС.
(4 балла) Задание 2. Решите задачу:
Двугранный угол равен 60о. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла на см. Найдите расстояние от этой точки до другой грани.	Двугранный угол равен 60о. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла на см. Найдите расстояние от этой точки до другой грани.
	Критерии оценивания: Оценка Баллы 5 6 4 4 – менее 6 3 3 – менее 4 2 менее 3

Образец выполнения работы:

Задание	Решение
(2 балла) Задание 1. Прямая a перпендикулярна плоскости АВС. Найдите расстояние между прямымиа и АС.	Дано: а – прямая, АВС – плоскость , BC=6 ∠ВСА=45о Найти: расстояние междуа и АС. Решение: 1) прямыеа и АС – скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости, т.к. ????⊥???????? по условию, и не пересекаются, т.к. ); 2) проведем общий дляа и АС перпендикуляр BD; расстояние между а и АС равно длине BD; 3) Рассмотрим в плоскости треугольник – прямоугольный (∠D=90о по построению), равнобедренный (∠С=45о по условию). 4) По теореме Пифагора: Пусть . Тогда 36 18 BD Ответ: .
(4 балла) Задание 2. Решите задачу:	Дано: двугранный угол, ∠АВС=30о – линейный угол двугранного угла , АВ=4см Найти: расстояние от А до Решение: 1) Проведем перпендикуляр АС из точки А на плоскость , длина АС – расстояние от А до ; 2) Рассмотрим – прямоугольный (∠С=90о по построению); 3) АС – катет, лежащий напротив угла в 30о⇒ (см) Ответ: 2 см. Замечание: В случае, если угол равен 60о, сначала находим второй катет, а затем по теореме Пифагора искомую длину.
Двугранный угол равен 30о. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла на см. Найдите расстояние от этой точки до другой грани.

---

Тестирование № 1

Тема: Параллельное проектирование и его свойства. Взаимное расположение пространственных фигур

Продолжительность: 1 час
Материалы для подготовки к тестированию:

1. 
   Конспект лекции по теме;
   
2. 
   Материалы учебника М.И. Башмакова Математика Глава 6 Занятие 1;
   
3. 
   Материалы портала «Российская электронная школа», доступные по ссылкам:
   

1. Параллельность прямых, прямой и плоскости: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6065/main/125655/

2.Взаимное расположение прямых в пространстве: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6133/start/272668/

3. Параллельность плоскостей: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6129/main/131676/

4. Перпендикулярность прямой и плоскости: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4724/main/20415/

5. Перпендикулярность плоскостей: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4748/start/20810/
Образец работы:

1. Выбери фигуры, которые могут быть параллельными проекциями двух параллельных прямых.

• 
  прямая
  
• 
  точка
  
• 
  луч
  
• 
  две параллельные прямые
  
• 
  две точки
  
• 
  отрезок
  

2. Известно, что I - проецирующая прямая параллельного проецирования. АВ и CD – отрезки, причем AB∥CD, AB∦I, CD∦I. Укажите взаимное расположение проекций A₁B₁ и C₁D₁ отрезков АВ и CD на плоскости α.

• 
  A₁B₁∥C₁D1
  
• 
  A₁B₁∩C₁D1
  
• 
  A₁B₁⊂C₁D1
  
• 
  C₁D₁⊂A₁B₁
  
• 
  A₁B₁ и C₁D₁ скрещиваются
  

3. Дано I - направление параллельного проецирования, АВАВ∦I. Выбери фигуру, которая может быть проекцией отрезка АВ.

• 
  прямая
  
• 
  точка
  
• 
  две точки
  
• 
  луч
  
• 
  отрезок
  

4. Дано I - направление параллельного проецирования, a∩b=O, a∦I, b∦I. Укажи фигуры, которые могут быть проекциями прямых а и b.

• 
  одна прямая
  
• 
  две пересекающиеся прямые
  
• 
  две параллельные прямые
  
• 
  две скрещивающиеся прямые
  
• 
  угол
  

5. Укажите фигуры, в которые может проецироваться квадрат ABCD.

• 
  параллелограмм
  
• 
  прямоугольник
  
• 
  трапеция
  
• 
  ромб
  
• 
  квадрат
  
• 
  отрезок
  

6. Прямая параллельного проецирования не параллельна плоскости фигуры. Соотнесите фигуры и проекции.

• 
  прямоугольник
  
• 
  квадрат
  
• 
  прямоугольный треугольник
  
• 
  равнобедренная трапеция
  
• 
  ромб
  
• 
  равнобедренный треугольник
  
• 
  параллелограмм
  

---

7. Известно, что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ является параллельной проекцией трапеции ABCD (BC∥AD) на плоскость α. Определите вид четырехугольника A₁B₁C₁D₁.

• 
  ромб
  
• 
  параллелограмм
  
• 
  трапеция (A1B1∥C1D1)
  
• 
  трапеция (A1D1∥B1C1)
  
• 
  прямоугольник
  

8. Известно, что △A₁B₁C₁ является параллельной проекцией △ABC на плоскость α; АМ, АК, АН - медиана, биссектриса, высота △АВС соответственно; М₁, К₁, Н₁ - проекции точек М, К, Н соотвественно на плоскость α. Укажите правильные утверждения.

• 
  Если △АВС - правильный, то △А₁В₁С₁ - правильный.
  
• 
  Если △АВС - прямоугольный, то △А₁В₁С₁ - прямоугольный.
  
• 
  Если АМ - медиана △АВС, то А₁М₁ - медиана △А₁В₁С₁.
  
• 
  Если АК - биссектриса △АВС, то А₁К₁ - биссектриса △А₁В₁С₁.
  
• 
  Если АН - высота △АВС, то А₁Н₁ - высота △А₁В₁С₁.
  
• 
  Если ВК:КС=2:3, то В₁К₁:К₁С₁=2:3.
  
• 
  Если А∠А=30∘ и ВС=20 см, то А∠А1=30∘ и В₁С₁=20 см.
  

Контрольная работа № 3

Тема: Прямые и плоскости в пространстве

Продолжительность: 1 час
Материалы для подготовки к практической работе:

1. 
   Конспект лекции по теме;
   
2. 
   Материалы учебника М.И. Башмакова Математика Глава 3 Занятия1-3;
   
3. 
   Материалы портала «Российская электронная школа», доступные по ссылкам:
   

1. Введение в стереометрию:https://resh.edu.ru/subject/lesson/4756/main/203546/

2. Параллельность прямых, прямой и плоскости: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6065/main/125655/

3.Взаимное расположение прямых в пространстве: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6133/start/272668/

4. Параллельность плоскостей: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6129/main/131676/

5. Перпендикулярность прямой и плоскости: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4724/main/20415/

6. Перпендикуляр и наклонные: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6127/start/221519/

7. Перпендикулярность плоскостей: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4748/start/20810/


Образец работы:

Вариант 1	Вариант 2
балла) Задание 1. Пользуясь рисунком ответьте на следующие вопросы.
1) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости AA1B1 и ACD, PB1C1 и ABC (PBB1C1C); 2) назовите плоскости, которым точка В принадлежит, не принадлежит; 3) определите в каком отношении находятся прямые AD и C1B1.	1) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABD и CDA, PDC и ABC; 2) назовите плоскости, которым точка В принадлежит, не принадлежит; 3) определите в каком отношении находятся прямые DB и AC.
(4 балла) Задание 2.Решите задачу.
Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 600. Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен 8.	Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 300. Найдите перпендикуляр и наклонную, если проекция наклонной равна 4.
(4 балла) Задание 3.Решите задачу: «Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1, М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и…».
АА1=2 см, ВВ1=6 см	АА1=9 см, ВВ1=7 см
(3 балла) Задание 4. Прямая МО перпендикулярна плоскости ΔАОВ. Найдите площадь ΔАОВ , если…
SΔAMB=8.	SΔAMB=12.
	Критерии оценивания: Оценка Баллы 5 13-14 4 10 – менее 13 3 7 – менее 10 2 менее 7

---

Образец выполнения работы:

Задача	Решение
балла) Задание 1. Пользуясь рисунком ответьте на следующие вопросы. 1) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости AA1B1 и ACD, PB1C1 и ABC (PBB1C1C); 2) назовите плоскости, которым точка В принадлежит, не принадлежит; 3) определите в каком отношении находятся прямые AD и C1B1.	1) ; 2) ; ; 3) AD и C1B1 – параллельны (т.к. лежат в плоскости и не пересекаются)
(4 балла) Задание 2.Решите задачу. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 600. Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен 8 см.	Дано: A– точка, α – плоскость, – перпендикуляр к , – наклонная к , – проекция наклонной ∠A=60о Найти: Решение: 1) Рассмотрим треугольник в соответствующей плоскости (плоскость существует по теореме "О существовании плоскости, проходящей через 3 данные точки") 2) – прямоугольный, ( по определению прямой перпендикулярной плоскости, т.к. – перпендикуляр к по условию) 3) ∠A=60о⇒∠В=30о, – катет, лежащий напротив угла в 30о⇒ ⇒ 4) По теореме Пифагора: Откуда, см Ответ: 16 см, см.
(4 балла) Задание 3.Решите задачу: «Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1, В1, М1. Найдите длину отрезка ММ1, если отрезок АВ не пересекает плоскость и АА1=2 см, ВВ1=6 см».	Дано: AВ – отрезок, М – середина АВ, α – плоскость, Найти: Решение: 1) Проведем плоскость β через (такая плоскость обязательно существует по определению параллельных прямых); 2) Прямые АВ, , принадлежат β (по теореме о принадлежности прямой плоскости); 3) Рассмотрим в β четырехугольник – трапецию (т.к. по условию и АВ ,т.к. ) ; 4) – средняя линия трапеции (в силу теоремы Фалеса и из того, что ); 5) (см) Ответ: 4 см.
(3 балла) Задание 4. Прямая МО перпендикулярна плоскости ΔАОВ. Найдите площадь ΔАОВ , если SΔAMB=8 дм2.	Дано: , MO – перпендикуляр к плоскости ΔАОВ, ∠MEO=60o – линейный угол двугранного угла, образованного АОВ SΔAMB=8 дм2 Найти: Решение: ΔАОВ – ортогональная проекция на соответствующую плоскость По формуле (дм2) Ответ: дм2.

---