Файл: Учереждение высшего профессионального образования московский государственный университет приборостроения и информатики.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 406
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
Общие сведения об электрических и радиотехнических цепях
Сигналы и их основные характеристики
Корреляционные характеристики детерминированных сигналов
Вопросы и задания для самопроверки:
Методы анализа электрических цепей
Вопросы и задания для самопроверки
Спектры амплитуд и фаз периодических сигналов
Спектральные плотности амплитуд и фаз непериодических сигналов
Примеры определения спектральной плотности сигналов
Определение активной длительности сигнала и активной ширины его спектра
Вопросы и задания для самопроверки:
Комлексная передаточная функция и частотные характеристики цепи
Спектральный анализ цепей при непериодических воздействиях
Вопросы и задания для самопроверки гл. 5, 6:
Вопросы и задания для самопроверки:
Частотный принцип преобразования радиотехнических сигналов
в операторной области.
Интегрирование оригинала (теорема интегрирования).
Эта математическая операция показывает, что для нахождения преобразования Лапласа определенного интеграла от оригинала необходимо разделить изображение оригинала на оператор
, т.е. операция интегрирования оригинала во временной области заменяется простой операцией деления изображения на в операторной области.
Данную теорему доказывают, используя свойство дифференцирования оригинала.
Применение теорем дифференцирования и интегрирования оригинала позволяет переходить от интегродифференциальных уравнений для оригинала к более простым алгебраическим уравнениям, записываемым для изображений, и дальнейшему определению оригинала по найденному изображению.
Пример 4. Найдем изображение напряжения, имеющего форму косинусоиды
если известно, что напряжение 
имеет изображение 
(см. строку 6 в табл. 7.1).
Определим производную функции
Получим
Воспользуемся теоремой дифференцирования (7.5) и получим изображение функции
(t):
или
Найдем также изображение функции
, применив свойство умножения на константу:
где
— изображение оригинала 
.
Сравнивая два последних выражения, находим изображение
напряжения u
или
что согласуется со строкой 7 табл. 7.1.
Теорема запаздывания.
Эта математическая запись означает, что сдвиг оригинала
по оси времени на 
приводит к умножению изображения на экспоненту 
.
Теорема легко доказывается, если осуществить замену переменной
и взять преобразование Лапласа (7.1) функции 
.
Подобное соотношение можно записать и для оригинала
В дальнейшем будем рассматривать свойства преобразований Лапласа главным образом для напряжения 
.
Пример 5. Найдем изображение экспоненциального напряжения (рис. 7.2, а)
Представим напряжение как сумму двух напряжений (рис. 7.2,
б):
Изображение
напряжения 
имеет вид (строка 4 табл. 7.1)
Напряжение
с учетом теоремы запаздывания (7.7) имеет изображение
На основании свойства линейности
получаем изображение напряжения, показанного на рис. 7.2, а:
Этот же результат получается, если найти прямое преобразование Лапласа непосредственно для заданного напряжения:
Имеем
Рис. 7.2. Напряжение в форме экспоненциального импульса
Теорема смещения.
Эта теорема констатирует, что если оригинал умножается на 
, то изображение этого произведения получается заменой в изображении 
оригинала на 
. Причем α может быть как действительной, так и комплексной величиной.
Теорема (7.8) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.1) вместо подставить 
.
Пример 6. Найдем изображение синусоидального напряжения, амплитуда которого затухает по экспоненциальному закону
Из табл. 7.1 следует, что оригиналу
соответствует изображение 
По теореме смещения (7.8) умножение 
на 
приводит к замене в оператора на 
, поэтому изображение 
сигнала имеет вид
что согласуется со строкой 8 в табл. 7.1.
Теорема подобия (изменение масштаба независимого переменного).
где
˗ постоянный вещественный коэффициент. Эта теорема устанавливает, что изменению масштаба оригинала по оси времени соответствует изменение масштаба изображения. Причем умножение времени 
на коэффициента ведет к делению изображения и переменной на тот же самый коэффициент .
Теорема доказывается следующим образом. Находим прямое преобразование Лапласа (7.1) для оригинала
:
Пример 7. Найдем изображение экспоненциального напряжения 
, если известно изображение экспоненциального напряжения 
По теореме подобия (7.9) с учетом того, что
, получаем
Пример 8. Найдем теперь изображение , используя преобразование Лапласа (7.1):
Получили тот же самый результат, что и при применении теоремы подобия.
Теорема свертки.
Эта теорема устанавливает, что умножению изображений в области переменной соответствует свертка оригиналов во временной области.
Пример 9. Найдем изображение свертки двух напряжений 
,
.
Изображения напряжений
и 
приведены в табл. 7.1:
По теореме свертки изображение свертки оригиналов имеет вид
Найдем также изображение свертки оригиналов напряжений и
Интегрирование оригинала (теорема интегрирования).
Эта математическая операция показывает, что для нахождения преобразования Лапласа определенного интеграла от оригинала необходимо разделить изображение оригинала на оператор
, т.е. операция интегрирования оригинала во временной области заменяется простой операцией деления изображения на в операторной области.Данную теорему доказывают, используя свойство дифференцирования оригинала.
Применение теорем дифференцирования и интегрирования оригинала позволяет переходить от интегродифференциальных уравнений для оригинала к более простым алгебраическим уравнениям, записываемым для изображений, и дальнейшему определению оригинала по найденному изображению.
Пример 4. Найдем изображение напряжения, имеющего форму косинусоиды
если известно, что напряжение имеет изображение (см. строку 6 в табл. 7.1).Определим производную функции
Получим
Воспользуемся теоремой дифференцирования (7.5) и получим изображение функции
(t): или
Найдем также изображение функции
, применив свойство умножения на константу:
где
— изображение оригинала .Сравнивая два последних выражения, находим изображение
напряжения u или
что согласуется со строкой 7 табл. 7.1.
Теорема запаздывания.
Эта математическая запись означает, что сдвиг оригинала
по оси времени на приводит к умножению изображения на экспоненту .Теорема легко доказывается, если осуществить замену переменной
и взять преобразование Лапласа (7.1) функции .Подобное соотношение можно записать и для оригинала
В дальнейшем будем рассматривать свойства преобразований Лапласа главным образом для напряжения .Пример 5. Найдем изображение экспоненциального напряжения (рис. 7.2, а)
Представим напряжение
как сумму двух напряжений (рис. 7.2,
б):
Изображение
напряжения имеет вид (строка 4 табл. 7.1) Напряжение
с учетом теоремы запаздывания (7.7) имеет изображение На основании свойства линейности
получаем изображение
напряжения, показанного на рис. 7.2, а: Этот же результат получается, если найти прямое преобразование Лапласа непосредственно для заданного напряжения:
Имеем
Рис. 7.2. Напряжение в форме экспоненциального импульса
Теорема смещения.
Эта теорема констатирует, что если оригинал
умножается на , то изображение этого произведения получается заменой в изображении оригинала на . Причем α может быть как действительной, так и комплексной величиной.
Теорема (7.8) следует непосредственно из прямого преобразования Лапласа, если в (7.1) вместо
подставить .Пример 6. Найдем изображение синусоидального напряжения, амплитуда которого затухает по экспоненциальному закону
Из табл. 7.1 следует, что оригиналу
соответствует изображение По теореме смещения (7.8) умножение на приводит к замене в оператора на , поэтому изображение сигнала имеет вид что согласуется со строкой 8 в табл. 7.1.
Теорема подобия (изменение масштаба независимого переменного).
где
˗ постоянный вещественный коэффициент. Эта теорема устанавливает, что изменению масштаба оригинала по оси времени соответствует изменение масштаба изображения. Причем умножение времени на коэффициента ведет к делению изображения и переменной на тот же самый коэффициент .Теорема доказывается следующим образом. Находим прямое преобразование Лапласа (7.1) для оригинала
:
Пример 7. Найдем изображение
экспоненциального напряжения , если известно изображение экспоненциального напряжения По теореме подобия (7.9) с учетом того, что
, получаем Пример 8. Найдем теперь изображение
, используя преобразование Лапласа (7.1): Получили тот же самый результат, что и при применении теоремы подобия.
Теорема свертки.
Эта теорема устанавливает, что умножению изображений в области переменной
соответствует свертка оригиналов во временной области.Пример 9. Найдем изображение
свертки двух напряжений , .Изображения напряжений
и приведены в табл. 7.1: По теореме свертки изображение
свертки оригиналов имеет вид Найдем также изображение свертки оригиналов напряжений
и
