Файл: Учереждение высшего профессионального образования московский государственный университет приборостроения и информатики.docx

Таким образом, матема­тический аппарат рядов Фурье – наиболее приемлемый аппарат для представления периодических воздействий сложной формы.

Набор гармонических колебаний кратных частот, описываю­щий периодический сигнал, называется спектром этого сигнала. Анализ изменения спектра сигнала на выходе цепи по сравнению со спектром входного сигнала позволяет сказать, как изменился сам сигнал при прохождении его по цепи. П/п 4.1, 4.2, 4.3 настоящей работы посвящены анализу линейных электрических цепей при воздействии на них периодических сигналов сложной формы.

Адекватным математическим аппаратом для представления непериодических воздействий является интеграл Фурье.

Два интегральных преобразования Фурье (прямое и обрат­ное) позволяют по форме сигнала определять его комплексный спектр, а по спектру — форму сигнала. Анализ электрической це­пи при непериодическом воздействии сводится к нахождению спектра реакции цепи на это воздействие, а затем и самой реак­ции.

Расчет реакции линейной цепи с источниками непериодиче­ских сигналов, называемый спектральным анализом, подробно описан в п/п 4.4, 4.5, 4.6, 4.7.

Обобщением интегральных преобразований Фурье являются интегральные преобразования Лапласа, которые позволяют опре­делять операторные изображения воздействий и, наоборот, фор­му воздействий по их изображениям. Поэтому вместо спектраль­ного анализа цепи может быть проведен операторный анализ, суть которого состоит в отыскании сначала операторного изобра­жения реакции, а затем с помощью обратного преобразования Лапласа — реакции цепи на непериодическое воздействие. Мето­ды операторного анализа изложены в Главе 7 настоящей работы и в [1, 5, 6].

Существует прямой путь вычисления реакции цепи на воз­действие, не прибегая к определению спектров или изображений сигналов. В математике известны так называемые интегралы свертки, которые дают возможность найти реакцию цепи на не­периодическое воздействие путем прямого вычисления интеграла свертки. Анализ линейных цепей с помощью интегралов свертки, или временной метод анализа, изучается в [1].

---

На практике часто встречаются случаи, когда в цепи проис­ходит коммутация. Коммутацией принято называть любое изме­нение параметров цепи, ее конфигурации, подключение или от­ключение источников, приводящие к возникновению переходных процессов. Анализ переходных процессов приведен в [1, 5, 6]. Этот анализ может быть выполнен любым из трех методов: спектраль­ным, временным или операторным.

Если цепь содержит нелинейные резисторы (диоды, тран­зисторы), то чаще всего используют графоаналитические мето­ды расчета. Как правило, в цепях с нелинейными элементами не действует принцип суперпозиции. Ток нелинейного элемента содержит гармоники, которых не было во входном сигнале. Методам анализа нелинейных резистивных цепей посвящена [1, 5, 6].

Основные положения изложенных в гл.3 с учетом [1, 6] материалов:

• 
  Инженер должен уметь определять реакцию цепи на воздействие или сумму воздействий.
  
• 
  Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать реакцию линейной цепи на отдельные воздействия, а затем находить полную реакцию как сумму отдельных реакций.
  
• 
  В качестве воздействий могут быть напряжения или токи, создаваемые источниками сигналов, а в качестве реакций – напряжения или токи в элементах элек­трической цепи.
  
• 
  Воздействия подразделяются на постоянные и переменные во времени.
  
• 
  Переменные во времени воздействия бывают периодические и непериодические.
  
• 
  К простейшим периодическим воздействиям относятся гар­монические.
  
• 
  Периодические сигналы сложной формы (прямоугольной, пилообразной и др.) используются в аналоговой и цифровой технике для целей ис­пытаний, измерений, управления и т.д.
  
• 
  Только непериодический сигнал может нести в себе инфор­мацию это речевые, цифровые, телевизионные, радиолокационные и другие сигналы.
  
• 
  Любой сигнал S может быть разложен в ряд по базисной ортонормированной системе функций, которая может быть применена при расчете цепей. К таким базисным функциям относятся: ряд Фурье (тригонометрическая, комплексная и интегральная формы); интеграл Лапласа; функции Лежандра, Чебышева, Эрмита и Лагерра; негармонические базисные функции «вейвлеты».
  
• 
  Методы анализа цепи зависят от вида воздействия. При спектральном анализе цепей с периодическими несинусоидальным сигналом используют ряд Фурье (тригонометрическая и комплексные формы), при сигналах непериодической формы – интегральные преобразования Фурье или Лапласа.
  
• 
  Расчет реакции резистивной цепи в режиме постоянного воздействия сводится к решению систем линейных уравне­ний с вещественными коэффициентами.
  
• 
  Реакция цепи на гармоническое воздействие рассчитывается в результате составления и решения систем линейных урав­нений с комплексными коэффициентами и переменными.
  
• 
  Периодическое воздействие сложной формы можно представить как сумму гармонических колебаний кратных частот, разложив его в ряд Фурье. Расчет реакции цепи на такое воздействие производится методом наложения.
  
• 
  Существует три метода анализа цепи на непериодическое воздействие сложной формы: спектральный, операторный, временной.
  
• 
  Спектральный метод основан на применении преобразований Фурье. Вначале определяют спектр реакции цепи, а затем саму реакцию.
  
• 
  В операторном методе используется интегральное преобра­зование Лапласа. Рассчитывается изображение реакции, а затем сама реакция.
  
• 
  Временной метод позволяет сразу же определить реакцию цепи, используя интеграл свертки.
  
• 
  Расчет реакции цепи на воздействие, изменяющееся скач­кообразно, также может быть рассчитано временным, опе­раторным или спектральным методами.
  
• 
  Для расчета реакций нелинейных резистивных цепей на по­стоянное и гармоническое воздействия используются в ос­новном графоаналитические методы.
  
• 
  Для описания дискретных сигналов используется Z-преобразование. Реакция дискретной цепи на дискретное воздействие рассчитывается либо с помощью разностных уравнений, либо с использованием передаточных функций.
  
• 
  Для более точного анализа сигналов в цепи используют вейвлет-преобразование.
  

---

1. 1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   22

---

Вопросы и задания для самопроверки

1. 
   Поясните физический смысл разложения сигнала в обобщенный ряд Фурье.
   
2. 
   Для расчета сигналов какой формы используются соответственно тригонометрическое, комплексное, интегральное представления ряда Фурье?
   
3. 
   Перечислите базисные функции, используемые при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье.
   
4. 
   Поясните область использования преобразования Лапласа для расчетов сигналов.
   
5. 
   Каким требованиям должна удовлетворять система базисных функций при разложении произвольного сигнала конечной мощности в обобщенный ряд Фурье?
   
6. 
   Почему для разложения сигналов удобно пользоваться ортогональной системой базисных функций?
   
7. 
   Какие формы представления гармонического колебания Вы знаете?
   
8. 
   Какие требования предъявляются к базисной системе при разложении периодической функции?
   
9. 
   Какая связь существует между функциями ?
   
10. 
    Как описать произвольный сигнал
    

с помощью а) единичной функции ; б) прямоугольного импульса )?

11. 
    Как записать с помощью элементарных разрывных функций сигнал
    

и его производную ? Какой вид имеют графики функций и ?

4. Спектральный анализ сигналов

Как следует из п. 3.1 любой сигнал можно представить в виде разложения в ряд Фурье, записанный в различных формах: тригонометрической, комплексной и интегральной. Применяя различные формы записи ряда Фурье анализируют спектральные характеристики сигналов, широко используемых в радиотехнике (см. Глава 2). Далее рассмотрим особенности спектрального анализа сигналов.

1. Представление периодического воздействия рядом Фурье

---

Из математического анализа известно, что периодическая не­гармоническая функция f(t),удовлетворяющая условиям Дирихле может быть разложена в ряд Фурье:

где –коэффициенты разложения, определяемые уравне­ниями:



Применительно к периодическому гармоническому напряже­нию u(t) в (4.1) можно использовать следующие обозначения:




Напомним, что у периодического сигнала его значения по­вторяются через равные промежутки времени, называемые пе­риодом. Простейшим периодическим сигналом является гармони­ческое колебание вида

Естественно, что при разложении этого сигнала в ряд Фурье последний будет содержать всего один член. Примером сложного периодического сигнала может служить последовательность прямоугольных импульсов с периодом повторения T (рис. 4.1,а).

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов, симметричная относительно начала координат, состоит только из синусоид. В качестве исходной синусоиды нужно выбрать такую, у которой период совпадает с периодом повторения T прямоугольных импульсов (рис. 4.1,б):

Следующая синусоида должна иметь частоту в три раза большую, а амплитуду – в три раза меньшую:

---