Файл: Учереждение высшего профессионального образования московский государственный университет приборостроения и информатики.docx

Физический смысл полученного выражения для пространства L₂следующий: энергия сигнала равна сумме энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.

Это значит для разных форм представления сигнала

- в виде временной функции (см п. 2.1);

в виде корреляционной функции (см п. 2.2);

в виде спектральной функции (см п. 4.5),

.
Если использовать в качестве ортогональных базисных функций 1,

где n = 1, 2, ….то получим ряд Фурье. Ряд Фурье используется, если сигнал s(t)

L₂(T) представлен на ограниченном временном отрезке [0, T], либо сигнал является периодическим с периодом Т. Ряд Фурье записывается в разных формах: тригонометрической, комплексной, интегральной (см. Глава 4 настоящей работы). Также в качестве базисных функций используют: функции Лежандра; Чебышева, Эрмита и Лагерра; на основе которых осуществляется разложение непрерывной функции

f(x) в обобщенные ряды Фурье [1, 2]. При проведении теоретических исследований и при решении задач удобно использовать преобразование Лапласа (см. п. 7 настоящей работы). Это преобразование вводится для всех сигналов s(t), тождественно равных нулю при t < 0 и возрастающих не быстрее

где

— вещественное число, причем

> 0.

Преобразование Лапласа можно получить как обобщение преобразования Фурье, обозначая

Для анализа cигналов

заданных на всей временной оси

, в настоящее время часто используются негармонические базисные функции вейвлеты (wavelet) [2]. Название "вейвлет", переводится на русский язык как "маленькая волна". Вейвлет представляется функцией

осциллирующей в некотором временном интервале подобно волне и быстро затухающей вне него. При этом функция

должна иметь нулевое среднее значение

а рис. 3.1 показаны графики двух вейвлетов: мексиканская шляпа

и Хаара

.

а) б)

Рис. 3.1. Графическое изображение вейвлетов: а) – мексиканская шляпа, б) - Хаара

Общий принцип построения базиса на основе вейвлета состоит в использовании масштабирования (сжатия или растяжения) базисной функции во времени и сдвига (смещения) ее по временной оси. Таким образом, вейвлеты — это функции

, где: а – масштаб, b – сдвиг. Коэффициент

перед функцией

введен для сохранения нормы сигнала

(R).

Чем больше масштаб

, тем медленнее изменяется и более «крупномасштабно» выглядит вейвлет. Чем меньше

, тем более высокочастотные и быстроизменяющиеся составляющие описывает вейвлет. Понятие частоты из классического гармонического спектрального анализа в вейвлет-анализе заменено масштабом

.

Используя сдвиг

вейвлета по оси времени, проводим анализ свойств сигнала в разных точках временной оси. Такой сдвиг не предусмотрен в гармоническом анализе. Поэтому вейвлеты удобно использовать при анализе нестационарных сигналов, когда кроме информации о выявленных частотах нужно получить данные о моментах времени, при которых эти частоты возникают или исчезают.

Подобно тому как аналоговые воздействия были представлены преобразованиями Фурье и Лапласа, дискретные воздействия представляются Z-преобразованием [1, 2]. Дискретные цепи описываются во временной области разностными уравнениями, а на комплексной плоскости — передаточной функцией комплексного переменного

Z. Расчет реакции дискретной цепи на дискретное воздействие может быть осуществлен как временным методом, так и с помощью передаточных функций и Z-преобразования. Методы анализа дискретных цепей описаны в [1, 2, 3].

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 22

Простейшие разрывные функции

Для расчета характеристик электрических цепей во временной области используются испытательные сигналы. Простейшие разрывные функции, которыми широко пользуются в теории сигналов, моделировании и испытании цепей, представлены в табл. 3.1. Ниже приводится краткое описание этих функций.

1. Функция знака (сигнум-функция) (табл. 3.1, поз 1). Функция имеет постоянную величину, равную единице, знак которой скачком изменяется при переходе переменной t через нуль

Таблица 3.1

№ п/п	Название функции*	Аналитическая запись функции	Графическое изображение	Связь между функциями
1	Функция знака sign(t) (сигнум- функция)	Sign(t)=		_
2	Единичная функция (функция Хевисайда)	=
3	Дельта-функция (функция Дирака)	=
4	Прямоугольный импульс с единичной высотой rect(t/ )