Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx

(4   2  5  4  14 ), а значит, и многоугольнику ABCDЕ. Поэтому

величина Q= 2 соответствует наименьшему значению функции Z= 2.

Парабола, проходящая через точку В(3; 9) прямую ABв точке F (2; 12), находящейся внутри отрезка AB, являющейся как и точка Врешением системы уравнений при Q= 9  3²  8  3  24:

³^x¹^^x²^^18,

x

2 1 1


^ x²  8x 24.

Следовательно, график параболы можно еще поднять вверх, а максимальное значение функции Z будет больше 24. Очевидно, что максимальное значение функция Z принимает в точке М, в которой график параболы касается области решений. Точка Мне является

вершиной многоугольника ABCD, а ее координаты находятся из сле- дующих соображений. Прямая АВ касается графика параболы в точке М, следовательно, в этой точке совпадают значения их производных

x₂'  2x₁ 8

и x₂'  3:
^2x₁  8  3,

x

3
^ x 18,



__x

1 2

2 1 1
 x²  8x
 Q.

Решением этой системы будут координаты точки М(5/2; 21/2) и значение Q = 97/4, соответствующее наибольшему значению функции Z= 24,25.

Итак, вершина М– точка глобального максимума, а E–точка гло- бального минимума.

Пример 3. Найти минимальное и максимальное значения функ-

ции Z=

2x₂x₁ x₂ 2x₁при ограничениях:

^x¹^²^x²^^12,

³^x²^^x¹^^8,

^2x 9x 29,

_1 2

__x₁ 0, x₂ 0.

Решение. Область допустимых решений представляет собой треугольник ABC (рис. 1.3). Прямая AB задается уравнением

3x₂ x₁ 8,

прямая CВ–

x₁  2x₂  12,

а прямая АС–

2x₁  9x₂  29.

Следовательно, для нахождения минимального и максимального зна- чения функции Zдостаточно определить нужные точки треугольника ABC. Очевидно, что искомые точки находятся на его границе, но не обязательно являются вершинами треугольника ABC.

Если положить Z=Q(Q> 0), то получается (x₂  1)(2x₁  1)

=Q+ 1

– уравнение гиперболы с асимптотами

x₂ 1 и

x₁  0,5.

С умень-

шением (увеличением) Qграфик гиперболы выгибается вниз (вверх),

а значение функции Zуменьшается (увеличивается).

Координаты точки B(4; 4) – пересечения прямых BCи ABтре- угольника ABCнаходятся как решение системы уравнений:

^x¹^²^x²^^12,


^3x x 8.

2 1

Остальные точки треугольника ABCнаходятся аналогично.

Координаты точки А(1; 3) – пересечения прямых АCи ABтре- угольника ABCнаходятся как решение системы уравнений:

²^x¹

^⁹^x²^^29,


^3x x 8.

2 1

Рис.1.3.Нелинейнаязадача,гипербола

Координаты точки С(10; 1) – пересечения прямых BCи AСтре- угольника ABCнаходятся как решение системы уравнений:

^x¹^²^x²^^12,

^2x 9x 29.

 1 2

График гиперболы при Q=

2x₂x₁ x₂ 2x₁ 2  3 1 3  2 1  11

проходит через точку А(1; 3), а при Q=

2x₂x₁ x₂ 2x₁ 2 110 

1  2  10  41 проходит через точку С(10; 1). Поэтому величина Q=

= 11 соответствует наименьшему значению функции Z= 11.

График гиперболы при Q=

2x₂x₁ x₂ 2x₁ 2  4  4  4  2  4  44

проходит через точку В(4; 4) и пересекает отрезок BC, в точке Е(9,5; 1,25), находящейся внутри отрезка BC, являющейся как и точка Врешением системы уравнений

^x¹^²^x²^^12,

^2xx x 2x

 44.

 2 1 2 1

Решением квадратного уравнения

2x₂(12  2x₂)  x₂ 2(12  2x₂)  44,

получающегося подстановкой значения первого уравнения системы

во второе, являются значения

x₂ 4

(соответствует точке В) и

x₂  1,25

(соответствует точке Е).

Следовательно, график гиперболы можно еще выгнуть вверх, а максимальное значение функции Z будет больше 44. Очевидно, что максимальное значение функция Z принимает в точке М, в которой график гиперболы касается области решений. Точка М не является вершиной треугольника ABC, а ее координаты находятся из следую- щих соображений. Прямая СВ касается графика гиперболы в точке М, следовательно, в этой точке совпадают значения их производных