Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx

Решением этой системы будут координаты точки М (27/4; 21/8) и значение Q = 825/16, соответствующее наибольшему значению функ- ции Z= 51,5625.

Итак, М– точка глобального максимума, а вершина А–точка гло- бального минимума.

Задачи нелинейного программирования для самостоятельного решения

Найти максимальное значение функции Z=x₂x₁ при ограничениях:

²^x¹^³^x²^^24,

⁴^x²^³^x¹^^13,

^6x 4x 12,

_1 2

__x₁ 0, x₂

 0.

Найти минимальное значение функции

Z=4x²  48x 9x²  90x

при ограничениях:

2 2 1 1

^x¹^^x²^^6,

³^x₁^²^x₂^^12,

^x 4,

^x2  0, x

 0.

^1 2

Найти максимальное значение функции Z=

ничениях:

3x₂ 4x₁

при огра-

^x²  2x

2 1 1
^x2  1,

 x²  2x

 34,

 ₁

^_x₂ 1.

Найти максимальное значение функции Z=x₂x₁ при ограничениях:

^x²  2x x²  2x

 14,

_2 2 1 1

_2x₁ x₂ 10,

_^x₁ 0, x₂ 0.

Метод множителей Лагранжа

Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного про- граммирования (1.1, 1.2), предполагая, что система ограничений (1.1) содержит только уравнения, отсутствуют условия не отрицательности

переменных и

f(x₁, x₂,...x_n)

и g_i(x₁, x₂,...x_n)  b_i,

(i 1,...,m),

– функции,

непрерывные вместе со своими частными производными:

f(x₁, x₂,..., x_n)  max (min);
(1.5)

g_i(x₁, x₂,..., x_n)  b_i,

(i 1,...,m).

(1.6)

Эту задачу называют задачей на условный экстремум или клас- сической задачей оптимизации. Чтобы найти решение этой задачи,

вводят набор переменных

 ₁,₂,...,_m,

называемых множителями Ла-

гранжа, и составляют функцию

m
F(x₁, x₂,..., x_n,₁,₂,...,_m) 

 f(x, x,..., x)  _ (b g(x, x,..., x

)),

(1.7)

1 2 n i i i 1 2 ni1

находят частные производные
равнивают их к нулю.

F

x_j

( j 1,...,n),

F

_i

(i 1,...,m)

и при-

В результате получают систему n + mуравнений:

^F

^^x

_f_^m


x

_g_i

ⁱx

 0 ( j

 1,...,n),

_i i

ⁱ^¹j

(1.8)

_F

 b g(x, x,..., x

)  0 (i

 1,...,m)

^__i

i i 1 2 n

с n+mнеизвестными. Функция (1.7) называется функцией Лагранжа.

Если функция

Z f(x, x,..., x) в точке X (x⁰, x⁰,..., x⁰ )

имеет экс-

1 2 n 1 2 n

тремум, то существует такой вектор

  (⁰,⁰,...,⁰ ), что точка

1 2 m

(x⁰, x⁰,..., x⁰,⁰,⁰,...,⁰ )
является решением системы (1.8).

1 2 n 1 2 m

Следовательно, решая систему (1.8), получаем множество точек, в которых функция Z может иметь экстремальные значения. Таким образом, определение экстремальных точек задачи (1.5, 1.6) методом множителей Лагранжа включает в себя следующие этапы:

составляют функцию Лагранжа;
находят частные производные от функции Лагранжа по перемен-

ным x_j

и  _i

и приравнивают их к нулю;

решая систему уравнений (1.8), находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум;
среди точек возможного экстремума находят такие, в которых достигается экстремум, и вычисляют значения функции (1.5) в этих точках.