Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.02.2024
Просмотров: 185
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
1. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Задачи выпуклого программирования
Решение задачи нелинейного программирования в Excel
Задания к самостоятельной работе
К ЗАДАЧАМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Задания для самостоятельного решения
КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
Параметры сетей и методы их расчета
Матричный метод расчета сетевого графика
Табличный метод расчета сетевого графика
Таблица стандартного нормального распределения
Анализ и оптимизация сетевой модели
Управление производством работ по сетевым графикам
Проект СРМ и временной резерв стадий
Проект СРМ и временной резерв стадий
Вариант 11. Найти максимальное значение функции
F 4x1 3x2
x2 2x
x2 2x
34 0,
при условиях:
1
1,
1 2 2
x1
x2 1.
Вариант 12. Найти максимальное значение функции
F 4(x 2)2 2(x
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 42
2)2
1 2
x1 x2 7,
при условиях:
2x x 8,
1 2
x1, x2 0.
-
Контрольные вопросы
-
При каких условиях задача математического программирова- ния является задачей нелинейного программирования?
-
Каким условиям должны удовлетворять функции
f(x1, x2,...xn) и
gi(x1, x2,...xn), чтобы можно было применить метод Лагранжа?
-
При каких условиях может быть найден глобальный оптимум задачи квадратичного программирования?
2. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИГР
Прежде чем определить термин «игра», рассмотрим стандартную ситуацию. Пусть имеется два игрока или более, соблюдающих неко- торые правила при принятии того или иного решения. Каждый из игро- ков старается извлечь наибольшую пользу для себя из всех возмож- ных вариантов. При этом, естественно, между игроками возникает конфликт, при разрешении которого и определяется оптимальная стратегия поведения всех участников конфликта. Рассмотренная си- туация и называется игрой. Оптимальная стратегия поведения игро- ков называется выигрышнойстратегией. Стратегия игрока называ- ется оптимальной, если при
многократном повторении игры она обес- печивает ему максимально возможный средний выигрыш. Совокуп- ность допустимых действий в игре называется правилами игры. Пла-тежом в игре называется количественная оценка ее результатов. Чаще всего рассматривается игра с нулевой суммой, то есть такая иг- ра, в которой сумма всех платежей рана нулю.
Рассмотрим парную игру с нулевой суммой. Это значит, что в игре
будут участвовать только два игрока, а ее результатом будет выиг- рыш одного из них с платежом равным проигрышу другого. Пусть у
первого игрока имеется kвозможных стратегий, а у второго их n, и
они, не зная выбора соперника, выбирают i-ю и j-ю стратегию соответ-
ственно. Очевидно, что 1 i k
и 1
j n.
В результате применения
соответствующих стратегий получаем платеж, равный
aij.
Причем, ес-
ли aij
-
0,
то выигрывает первый из игроков либо второй.
- 1 ... 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 42
Понятия задачи теории игр
Из чисел
aij
составим матрицу
A, строки которой соответствуют
стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго. Такая матрица называется платежной матрицей игры, а сама игра – конеч-
ной игрой размерностью
k n:
a11 a12 ... a1n
a a ... a
A
21 22 2n.
(2.1)
... ... ... ...
a a ... a
k1 k2 kn
Введем два понятия – нижняяиверхняяценыигры. Число
max(minaij)
называется нижнейценойигры, а
min(max aij) –
1ik1 jn
1 jn1ik
верхнейценойигры.
Утверждение 1. Нижняя цена игры всегда не превосходит верх- нюю цену игры.
Если для игры нижняя и верхняя цены игры равны одному и тому
же числу , то она называется ценойигры, а сама игра называется
игройсседловойточкой.
Если же игра, заданная матрицей, не имеет седловой точки, то для нахождения ее решения используются смешанные стратегии. У каждого из игроков имеется своя смешанная стратегия, которая обра- зует два вектора с компонентами, показывающими частоту использо- вания стратегии, соответствующей номеру индекса. Обозначим сме-
шанную стратегию первого игрока как вектор
u (u1,u2,...,uk),
а второ-
го игрока как вектор v
(v1,v2,...,vn),
где
ui,vj 0
и 1 i k
и 1
j n.
Очевидно, что для компонентов этих векторов должно выполняться условие (2.2):
k n
ui
i1
vjj1
1,
(2.2)
и, если
u, v – оптимальные стратегии первого и второго игроков со-
ответственно, то
auv .
k n
ij i j
(2.3)
i1 j1
Процесс нахождения решения игры состоит в определении опти- мальных стратегий и нахождении цены игры.
Утверждение 2. Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях.
Утверждение 3. Выполнение условий:
av ,
n
ij j
j1
k
au ,
iji
i1
(2.4)