Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx

Пример 4. Автомобильный завод планирует выпускать в текущем году с конвейера три модели автомобилей А, Б и В. Рассматриваются три варианта развития экономической ситуации в стране. Причем ка- ждый из этих вариантов потребует своих затрат и обеспечивает раз- личный экономический эффект. Прибыль (млн. руб.), которую получа- ет завод при данном объеме выпуска соответствующей модели и со- стояния спроса на нее, определяется табл. 2.1.

Таблица2.1

Модели и варианты

Модели	Варианты
Модели	I	II	III
А	110	120	115
Б	150	160	120
В	125	105	110

Требуется определить объем выпуска моделей автомобилей, обес- печивающий среднюю величину прибыли, при любом состоянии спроса.

Решение. 1. Проверим матрицу на наличие седловой точки:

  max(mina_ij)  120,   min(max a_ij)  120.

1i3

1 j3

1 j3 1i3

Так как

  ,

то игра имеет Седловую точку, соответствующую

III варианту выпуска модели Б. Объем выпуска соответствующей мо- дели обеспечивает прибыль 120 млн. руб. при любом варианте разви- тия экономической ситуации в стране.

1 ... 13 14 15 16 17 18 19 20 ... 42

СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИГР

К ЗАДАЧАМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Постановка задачи

Рассмотрим платежную матрицу (матрицу игры) размерностью

k n,

где

k,n 2:
 ^a¹¹^a^{12 ...}^a¹ⁿ

^a a ... a ^

A ^

21 22 2n__.

^... ... ... ... ^

^a a ... a ^

 k1 k2 kn

Тогда, согласно вышеприведенной теории, у каждого игрока сущест-

вуют свои оптимальные стратегии u^  (u^,u^,...,u^ ) и v^  (v^,v^,...,v^ ). В

1 2 k 1 2 n

частности, для первого игрока выполняется неравенство

k

ij i
_au^  , ¹^^j^ⁿ^,

(3.1)

^где ^–^цена^игры^.

i1

В дальнейшем будем считать, что цена игры положительное чис- ло. Этого всегда можно добиться, так как, если добавить ко всем эле- ментам матрицы A одно и то же число, то это не приведет к измене- нию оптимальных стратегий, а только лишь увеличит на это число це-

ну игры. Разделим обе части (3.1) на :

k _u^