Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.02.2024
Просмотров: 165
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
1. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Задачи выпуклого программирования
Решение задачи нелинейного программирования в Excel
Задания к самостоятельной работе
К ЗАДАЧАМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Задания для самостоятельного решения
КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
Параметры сетей и методы их расчета
Матричный метод расчета сетевого графика
Табличный метод расчета сетевого графика
Таблица стандартного нормального распределения
Анализ и оптимизация сетевой модели
Управление производством работ по сетевым графикам
Проект СРМ и временной резерв стадий
Проект СРМ и временной резерв стадий
x
2
1 3 1 2
F
x x2 2,
3
F
x x
2 0,
1 2 1
F x x 2 0.
2 2 3
Из первого и третьего уравнений следует, что
1 2
x2,
тогда:
x1 2x2 x3
0,
x x 0,
1 2
x2 x3
2.
Решая данную систему, находим
x1 x2
x3
1, Z=2.
Метод множителей Лагранжа можно применять и в том случае, когда условия связи представляют собой неравенства. Так, если тре-
буется найти экстремум функции
z f( X)
при условии
g( X) b, то
сначала следует найти точки безусловного экстремума функции
z f( X)
из уравнений
f
xk 0 (k 1,...,n), затем среди этих точек ото-
брать те, координаты которых удовлетворяют условию связи
g( X) b,
и, наконец, определить точки, удовлетворяющие системе уравнений:
f
x g
x 0 (k 1,...,n),
k k
g( X) b.
Точки, найденные в результате решения этой системы вместе с точками, определенными на первом этапе и удовлетворяющими усло-
вию
g( X) b,
подлежат дальнейшему рассмотрению, как и при нахо-
ждении безусловного экстремума.
- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 42
Задачи выпуклого программирования
Рассмотрим задачу нелинейного программирования:
f(x1, x2,..., xn) max
(min), (1.9)
gi(x1, x2,..., xn) bi,
(i 1,...,m),
(1.10)
xj 0 (j
1,...,n),
(1.11)
где fи gi
– некоторые функции nпеременных
x1, x2,..., xn.
Для решения задачи нелинейного программирования в постанов- ке (1.9…1.11) не существует универсальных методов. Однако для от- дельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограни-
чения относительно свойств функций f и
gi,
разработаны эффектив-
ные методы их решения. В частности, ряд таких методов имеется для решения задач нелинейного программирования при условии, что f– вогнутая (выпуклая) функция и область допустимых решений, опре- деляемая ограничениями (1.10 и 1.11), – выпуклая.
Определение. Функция
f(x1, x2,..., xn),
заданная на выпуклом
множестве
X En,
называется выпуклой, если для любых двух точек
X1 и
X1 из Xи любого 0 1 выполняется соотношение
f(X2 (1 )X1) f( X2 ) (1 )f( X1).
(1.12)
Определение. Функция
f(x1, x2,..., xn),
заданная на выпуклом мно-
жестве
X En, называется вогнутой, если для любых двух точек
X1 и
X1 из Xи любого 0 1 выполняется соотношение
f(X2 (1 )X1) f( X2 ) (1 )f( X1).
(1.13)
Если неравенства (1.12 и 1.13) считать строгими и они выполня-
ются при 0 1,
то функция
f( X) строго выпуклая (строго вогнутая).
Если
f( X)
-
выпуклая функция, то
f( X)
-
вогнутая функция и,
наоборот. Геометрически это означает, что если
Z f( X)
-
выпуклая
поверхность (n 2),
то отрезок, соединяющий любые две точки, ле-
жит на поверхности или выше нее.
k
Если
f( X) fj( X),
j1
где
fj( X)
-
выпуклые (вогнутые) функции на
некотором выпуклом множестве
X En,
то функция
f( X)
также вы-
пуклая (вогнутая) на X.
Определение. Говорят, что множество допустимых решений за- дачи (1.9…1.11) удовлетворяет условию регулярности, если сущест-
вует, по крайней мере, одна точка
Xi,
принадлежащая области допус-
тимых решений такая, что
gi( Xi) bi
(i 1,...,m).
Определение. Задача (1.9…1.11) называется задачей выпуклого
программирования, если функция
f(x1, x2,..., xn)
является вогнутой
(выпуклой), а функции
gi( X) (i
1,...,m) – выпуклыми.
Теорема 1. Любой локальный максимум (минимум) задачи вы- пуклого программирования является глобальным максимумом (мини- мумом).
Следствие_1.'>Следствие 1. Если глобальный максимум достигается в двух различных точках, то он достигается и в любой точке отрезка, соеди- няющего данные точки.
