Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx

Свойство супераддитивности по индукции распространяется на любое число коалиций. Свойство супераддитивности характеристиче- ской функции имеет следующий содержательный смысл. Соединяя

свои возможности, коалиции

S₁и S₂

получат доход не менее того, что

они получили бы в сумме, действуя порознь.

Определение. Дележ yдоминирует дележ xпо коалиции
S, ес-

ли для всех членов коалиции Sдележ ^yлучше, чем дележ дележ yдостижим (реализуем).

Свойства отношения доминирования дележей:

x, а также

доминирование дележей по одноэлементной коалиции невоз- можно;
доминирование дележей по коалиции Iвсех игроков невозможно;
в игре двух лиц доминирование дележей невозможно.

Важным свойством эквивалентных кооперативных игр является наличие изоморфизма между их отношениями доминирования. Таким образом, для любой фиксированной коалиции Sуказанное отображе- ние осуществляет изоморфизм отношений доминирования по ней. Следовательно, при рассмотрении отношения доминирования деле- жей можно переходить от заданной кооперативной игры к любой дру- гой эквивалентной ей игре.

Естественный путь сужения множества дележей основан на их сравнении, которое осуществляется на базе отношения доминирова-

ния. Предположим, что игрокам Iпредлагается дележ x. И в то же

время существует такой дележ y, что yдоминирует дележ xпо не-

пустой коалиции S. Тогда, во-первых, дележ ^yявляется более пред-

почтительным для всех членов коалиции

S, чем дележ

x, и, во-

вторых, дележ ^yможет быть реализован коалицией Sнезависимо от действий остальных игроков. Поэтому попытка введения дележа x

должна встретить противодействие со стороны коалиции S, имеющей

^«^{желание}^»^{получить}^дележ^y^вместо^{платежа}x, ^а^также^{возможность}

это желание осуществить. Из этих рассуждений можно сделать сле- дующий вывод: предложение дележа x может быть принято всеми коалициями игры только тогда, когда этот дележ не является домини- руемым.

Определение. Множество недоминируемых дележей коопера- тивной игры называется ее С-ядром.

Следующее утверждение характеризует дележи кооперативной игры, попадающие в ее С-ядро. Для того чтобы дележ xкооператив-

ной игры (I,V) принадлежал ее С-ядру, необходимо и достаточно,

чтобы для любой коалиции S I {1,2,...,n}

выполнялось

x(S)  V(S).

Рассмотрим кооперативную игру (I,V). Будем интерпретировать

число ^V⁽^S⁾

как сумму, гарантированно получаемую коалицией S.

То-

гда коалиция I всех игроков может гарантированно получить сумму ^V⁽^I⁾и затем распределить ее любым способом между всеми игрока- ми. Всякое такое распределение будем трактовать как возможный ис-

ход игры ⁽^I^,^V^).Формально указанное распределение есть вектор

x (x₁,..., x_n)  R_n,

i-я компонента которого понимается как сумма, ко-

торая достается игроку

i I.

На вопрос, какой исход кооперативной

игры (I,V) следует считать оптимальным («правильным», «справед-

ливым»), дает ответ вектор Шепли. При его расчете безусловными требованиями, предъявляемыми к оптимальному исходу, являются требования индивидуальной и коллективной рациональности.

Вектор Шепли

В теории игр изучаются несколько различных принципов опти- мальности исходов кооперативных игр. Важнейшим из них является принцип, предложенный американским математиком Л. Шепли. Он ос- нован на построении так называемого вектора Шепли.

Концепция оптимальности, предложенная Шепли, базируется на

следующем подходе. Каждой кооперативной игре ⁽^I^,^V⁾ставится в со-

ответствие n-компонентный вектор

(V)  (₁(V),...,_n(V)),

компонен-

та которого понимается как справедливый выигрыш, назначаемый иг-

року i I

в соответствии с его «вкладом» в игру. Таким образом, век-

тор Шепли можно рассматривать как «справедливое» распределение общей прибыли, полученной коалицией всех игроков в результате кооперативного эффекта. Далее Шепли формулирует ряд аксиом, за- ключающих в себе определенное понимание «справедливого распре- деления полезности». Эти аксиомы (в эквивалентной формулировке) заключены в следующих требованиях.

Аксиома симметрии – выражает тот факт, что игроки, входя- щие в игру симметрично, должны получить одинаковые выигрыши.
Аксиома эффективности – означает, что распределению

подлежит вся сумма

V(I);

формально она выражает условие группо-

вой рациональности исхода, т.е. его оптимальности по Парето.

Аксиома болвана – игрока, который не может обеспечить себе никакого выигрыша и не влияет на выигрыши коалиций, к которым он присоединяется. Аксиома требует, чтобы игрок, являющийся болва- ном, ничего не получал при распределении.
Аксиома агрегации (линейности). Смысл аксиомы агрегации состоит в том, что при участии игрока в двух играх (что соответствует сложению характеристических функций), его выигрыши должны скла- дываться.