Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx

были оптимальными стратегиями с ценой игры, равной .

Если игрок применяет оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш не будет зависеть от того, с какими частотами будет приме-

нять другой игрок стратегии, вошедшие в его оптимальную стратегию. Очевидно, что этот выигрыш будет равен цене игры.

Пример задачи теории игр, заданной матрицей 22

Пример 1. Найти решение игры, заданной матрицей

 _{8 2}
_A_ ^{1 5}_.

 

Решение. 1. Проверим матрицу на наличие седловой точки:

  max(mina_ij)  2,   min(max a_ij)  5.

1i2

1 j2

1 j2 1i2

Так как 2  5, то решением игры будут смешанные стратегии, а

цена игры 2    5.

Пусть

u^  (u^,u^ )

оптимальная стратегия первого игрока, то-

1 2

1 2
гда при 1-й стратегии второго игрока получаем, что

u^  8u^  ,

а при

применении им 2-й стратегии

1 ... 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 42

5u^  2u^  .

Добавим еще одно усло-

1 2

1 2
вие u^  u^  1 и получим систему уравнений:

1

2
^u^  8u^  ,

^ 

_5u₁ 2u₂ ,

^u^  u^  1.

_1 2

Решение полученной системы:

^u^  0,6,

_1

Пусть

v^  (v^,v^ )

_u^  0,4,

2


^  3,8.

оптимальная стратегия второго игрока, то-

1 2

1 2
гда при 1-й стратегии первого игрока получается, что

v^  5v^  , а

при применении им 2-й стратегии

8v^  2v^  .

Добавим еще одно ус-

1 2

1 2
ловие v^  v^  1,

и получим систему уравнений:

1

2
^v^  5v^  ,

^ 

_8v₁ 2v₂ ,

^v^  v^  1.

_1 2

Решение полученной системы:

^v^  0,3,

_1

2
_v^  0,7,



^  3,8.

6. Итак, решением игры являются следующие смешанные страте-

гии u^  (0,6; 0,4) и v^  (0,3; 0,7) с ценой игры, равной   3,8.

Графическое решение. Рассмотрим геометрическую интерпре- тацию решения поставленной выше задачи (рис. 2.1).