Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx

_11 1 12 2



Замечание. Удобнее находить решения приведенных выше сис- тем, пользуясь правилом, чем-то схожим с правилом Крамера. То есть сначала вычисляем выражение знаменателя дробей, как модуль раз- ности сумм диагональных элементов матрицы A (аналогично вычис- лению определителя), а затем модуль разности дополнения к соот-

ветствующему столбцу или строке для u^ и v^соответственно.

Примеры решения игр, заданных матрицами 2nи k2

Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей

^7 4 9 5 3 ^
_A_ ^{3 5 1 4 6}_.

 

Решение. 1. Проверим матрицу на наличие седловой точки:

  max(mina_ij)  3,   min(max a_ij)  6.

1i2

1 j5

1 j5 1i2

Так как 3  6, то решением игры будут смешанные стратегии, а

цена игры 3    6.

Графическое решение. 2. В плоскости uOvотложим вдоль оси

Ouотрезок

[U₁U₂]

единичной длины. Тогда каждой его точке будет со-

ответствовать какая-либо смешанная стратегия u (u₁,u₂ ), на рис. 2.2.

Рис.2.2.Графическоерешениеспятьювекторами

В точке U₂

оси Ouпроведем к ней перпендикуляр. На оси Ov

отметим точки первой строки матрицы A, а, на построенном перпен-

дикуляре – точки второй ее строки и соединим их пересекающимися в точке Сотрезками.

В результате выбираем ломаную линию

^a14^Ca25

(самую ниж-

нюю из всех возрастающе-убывающих ломаных), точки которой опре- деляют минимальный выигрыш первого игрока. Следовательно, опти-

мальная стратегия

u^  (u^,u^ )

соответствует абсциссе точки С(наи-

1 2
большее значение на ломаной), а ее ордината равна цене игры. Ко-

ординаты точки С находятся из подобия треугольников

^a24^Ca25

^a14^Ca15 ^и

 ₅₃
_A_/_ ⁴⁶_.

 

Таким образом, решение задачи свелось к решению матрицы A^/

размерностью 2  2,

рицы A.

образованной 4-м и 5-м столбцами данной мат-



^u^ 
 0,5,

_1





_u^ 

 0,5,

2



^  a^/ u^  a^/ u^  4,5.









^v^

11 1 21 2

  0,75,

_4





_v^ 

 0,25,

5



^  a^/ v^  a^/ v^  4,5.

_11 4 12 5





Аналогично находится оптимальная стратегия

1 ... 11 12 13 14 15 16 17 18 ... 42

v^  (0,0,0,v^,v^ )

4 5
второго игрока. В плоскости uOv отложим вдоль оси Ov отрезок

a
[V₄V₅]

единичной длины. В точке V₅

оси Ovпроведем к ней перпенди-

a

11

a

 4

и
куляр. На оси Ouотметим точки ^/

^/  5,

а, на построенном

a

21

12

 6

и
перпендикуляре – точки ^/

^/  3.

Соединим их пересекающи-

22
мися в точке Cотрезками. В результате получим систему уравнений.

Итак, решением игры являются следующие смешанные страте-

гии u^  (0,5;0,6)

и v^  (0;0;0;0,75;0,25) с ценой игры, равной

  4,5.

Пример 3. Найти решение игры, заданной матрицей

 ^{6 5}

3 6
 

A ^^.

 _{2 7}

1 8
 

 

Решение. 1. Проверим матрицу на наличие седловой точки:

  max(mina_ij)  5,   min(max a_ij)  6.

1i4

1 j2

1 j2 1i4

Так как 5  6, то решением игры будут смешанные стратегии, а

цена игры ⁵^^^^6.

Графическое решение. 2. Находится оптимальная стратегия

1 2
v^  (v^,v^ )

второго игрока. В плоскости uOvотложим вдоль оси Ov

отрезок

[V₁V₂]

единичной длины. В точке V₂

оси Ovпроведем к ней

перпендикуляр. На оси Ouотметим точки первого столбца матрицы

A, а на построенном перпендикуляре – точки второго ее столбца и со-

единим их пересекающимися в точке Сотрезками (рис. 2.3).