Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx

где S– число игроков коалиции S.

Задача. В бригаде имеется три штукатура и три маляра. Часть бригады из xштукатуров и yмаляров зарабатывает 4xy x y.

Рассматривая возникшую ситуацию, как кооперативную игру, проверьте супераддитивность характеристической функции.
Найдите вектор Шепли. При необходимости обоснуйте ответ.
Является ли С-ядро игры пустым?
Вычислите, с обоснованием, вектор Шепли в случае заработка бригады, задаваемого функцией ⁴^xy^³^x^⁵^y^.

1 ... 18 19 20 21 22 23 24 25 ... 42

Решение.

Рассмотрим коалиции

S₁(x₁, y₁)
и S₂(x₂, y₂),
где по условию за-

дачи

0  x₁, x₂, y₁, y₂ 3. Тогда

V(S₁)  V(S₂)  V(S₁ S₂) 

 4x₁y₁ x₁ y₁ 4x₂y₂ x₂ y₂

 4(x₁ x₂)(y₁ y₂)  (x₁ x₂)  (y₁ y₂) 

  4( x₁y₂ x₂y₁)  0.

Условие супераддитивности выполняется.

Согласно утверждениям аксиом 1–2, все игроки получат одина-

ково. ₁(V)  ...  ₆

₍_V₎_V(I) _4  3  3  3  3 __7.

6 6

Вектор Шепли: ^⁽^V⁾^^{(7,7,7,7,7,7).}

Проверим вхождение вектора Шепли в С-ядро игры:

7x 7y (4xy x y)  6x 2xy 6y 2xy 2x(3  y)  2y(3  x)  0.

То есть вектор Шепли входит в С-ядро игры, следовательно, оно не пусто.

Условие аксиомы 1 не выполняется, так как характеристическая функция не симметрична относительно переменных. Поэтому одина- ково получат только каждый из штукатуров и каждый из маляров от- дельно. То есть:

₁(V)  ₂(V)  ₃(V),

₄(V)  ₅(V)  ₆(V).

Очевидно, что достаточно вычислить по одной компоненте из ка- ждого равенства.

Составим таблицу значений характеристической функции

V(S)  4xy 3x 5y

(табл. 4.1):
Таблица4.1

1 ... 19 20 21 22 23 24 25 26 ... 42

Функция V(S)

y	0	x 1 2		3
0	0	3	6		9
1	5	12	19		26
2	10	21	32		43
3	15	30	45		60

Рассматриваются все возможные варианты коалиций с первым игроком.

1. Коалиция из одного игрока:

S {{1}}

единственный вариант.

Следовательно, первое слагаемое (4.1) равно

V(S)  V(S\ {1}) _V({1})  V() _3  0 _1 _.

6
1 С¹2

Значение

V({1})

выбирается из таблицы значений характеристи-

ческой функции (см. табл. 4.1) при

x 1,

y 0.

2. Коалиция из двух игроков: S {{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6}} – всего

5 вариантов. Из них равносильные: {{1,2},{1,3}} и {{1,4},{1,5},{1,6}}, т.е. два штукатура или один маляр и один штукатур. Следовательно, вто- рое слагаемое (4.1) равно

₂V({1,2})  V({2}) _₃V({1,4})  V({4}) _₂6  3

2  С²

_₃12  5 _9 _.

2  С²10

Значения

V({1,2})  6

и V({1,4})  12

6 6

выбираются из таблицы зна-

чений характеристической функции (см. табл. 4.1) при x 2, y 0 и

x 1,

y 1,

а значения

V({2})  3

и V({4})  5

при

x 1,

y 0 и

x 0, y 1 соответственно.

Коалиция из трех игроков: всего 10 вариантов:

S {{1,2,3}, {1,2, 4},{1,2,5}, {1,2,6}, {1,3, 4},{1,3,5}},

{1,3,6}, {1, 4,5},{1, 4,6},{1,5,6}}.

Из них равносильные:

S {{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},{1,3,4},{1,3,5},{1,3,6}},

S {{1,2,3}}, S {{1,4,5},{1,4,6},{1,5,6}},

т.е. два штукатура и один маляр, три штукатура, один штукатур и два маляра. Следовательно, третье слагаемое (4.1) равно