Файл: прикладная математика учебное пособие московский автомобильнодорожный.docx

Решение задачи нелинейного программирования рассмотрим на следующем примере.

Требуется определить размеры бака, имеющего форму паралле- лепипеда (рис. 1.4) заданного объема.

Объем бака V

Рис.1.4.Разверткапараллелепипеда
 abh.

Полная поверхность

S 2(ab)  2(a b)h 2(ab (a b)h).

Принимаем, что стоимость материала

C kS,

где k– стоимость единицы площади материала. Подставив в (1.42) значение (1.41), получим

C 2k(ab (a b)h).
(1.43)
(1.44)

(1.45)

После введения рассмотренных величин сформулируем задачу оптимизации следующим образом:

V abh max,


^2k(ab (a b)h)  C

_^a, b, h 0.

зад^,

(1.46)

В этой постановке требуется определить размеры бака a, b, h, стоимость которого не должна превышать C_зад, чтобы его объем был максимальным. Для решения задачи (1.46) принимаем следующие конкретные значения: k = 10 тыс. руб./м², C_зад

= 100 тыс. руб. Тогда (1.46) будет иметь вид

_^V^^abh^^m^a^x^,

_20(ab (a b)h)  100,

^_a,b,h 0.

(1.47)

Система (1.47) и будет той задачей, на примере которой рассмот- рим решение задач нелинейного программирования в Excel.

Решение задачи нелинейного программирования отличается от решения задачи линейного программирования следующим:

i
назначаются начальные значения искомых переменных x⁰;
x
в диалоговом окне «Параметры» поиска решения не надо выби- рать пункт «Линейная модель».

Начальные значения

⁰ желательно назначать близкими к ожи-

i
даемым оптимальным значениям, что ускорит решение задачи. Обя- зательное требование заключается в том, чтобы целевая функция в начальной точке не была равна нулю. Это необходимо, чтобы не было

деления на ноль при вычислении

F_k.

Итак, рассмотрим решение задачи нелинейного программирова- ния (1.46).

Ввод данных для задачи нелинейного программирования

Для ввода данных необходимо выполнить следующие операции:

Сделать форму для ввода условий задачи (рис. 1.5).

Ввести:

Рис.1.5.Вводначальныхзначений

формулы зависимости для объема и стоимости (ячейки С7, С8);

i
начальные значения x⁰;
j
в ячейки В3, С3, D3 ввести 1 для обеспечения F(x⁰ )  0.

В ячейках, в которых будет представлен результат, назначить количество знаков после запятой. В нашем примере назначаем в ячейках два знака после запятой.
Выбираем Сервис, затем Поиск решения...

На экране диалоговое окно Поиск решения (рис. 1.6).

Ввести:

Рис.1.6.ОбластьокнаПоискрешения

в поле Установить целевую ячейку: $С$7; максимизировать ее;
в поле изменяемые ячейки: $В$3; $D$3;
граничные условия $В$3>=$B$4; $C$3>=$C$4; $D$3>=$D$4;
ограничения $С$8<=$E$8.

Перейти к решению задачи, нажав Выполнить.

Решение задачи нелинейного программирования

Задача решается в следующей последовательности:

Параметры...

На экране диалоговое окно Параметры поиска решения (рис. 1.7).

В этом окне назначаются параметры поиска решения. Отметим следующее.

При поиске оптимального решения смысл этих параметров знать не обязательно, так как их значения, применяемые по умолчанию, обеспечивают нормальное решение практических задач.

Рис.1.7.ОбластьокнаПараметрыпоискарешения

Все необходимые сведения о параметрах и командах, вводимых в этом диалоговом окне, можно получить, вызвав Справку.

Основные параметры приведены ниже.

Максимальное время (в секундах). Поумолчаниюпринимается100.

Предельное число итераций. Поумолчаниюпринимается100.

Относительная погрешность обеспечивает назначение величины

^^Fзад

в признаке достижения оптимального решения

F_k

_^Fk+1 ^^Fk

F_k

 F_зад.

Используемая по умолчанию величина 0,000001 обеспечивает достаточно высокую точность нахождения решения. Заметим, что снижение точности уменьшает число итераций и сокращает время по- иска решения.

Рис.1.8.Результатрешения

Если нужно, назначить необходимые значения перечисленных выше параметров.
ОК.

Выполнить.

На экране: результат

решения (рис. 1.8).

Получено решение В3 = С3 = D3 = 1,29, т.е. a = b = h = 1,29. Сле- довательно, бак имеет форму куба. Такое решение, в принципе, оче- видно. Это подтверждает справедливость математической модели и метода решения.